АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

уда 519.4 (Институт Н. Н .Р епин м атеи пти ки им. н .л . О: склоб .«секла) О МОЙЛУТАТОИШХ УРАВНЕНИЯХ В ГРУППАХ 8 . I! В Коуровской тетради (см. [ I ] , пункт 6.22 ) сформулиро­ вана задача о построении коси, принадлежащей коммутанту группы кос, но не являющейся коммутатором. В настоящей заметке строят­ ся целые семейства подобных кос в группах В3 и - группах кос на трех и четырех нитях. Более того, для каждого натураль­ ного числа п в коммутантах этих групп указываются косы,но являющиеся производонием никаких п коммутаторов. Знак х ш будом использовать для обозначения графичес­ кого равенства слов в некотором алфавите. Коммутатор i Z v 'u i r элементов и и ьг какой- либо группы i . ih будем обозна­ чать через C u , i rJ . Символы И / -и Z используются, как обычно., для обозначения множеств натуральных и целых чисел. Артгаюва группа кос на п нитях В п следующим обра- зо 1 .г записывается с помощью образую 1 дпх и определяющих соотноше- ( CM. [2J ): в л « « г , . . . . . 6i eL ttGL Г = /, п - 2 , 6) 9 - « / , М 'у '/* £ , / * п - / >. Хорошо известно, что в образующих 4 * 6, ь~ и ©ч 6; бф_ группа кос на трех нитях имеет вид: В3=< л Л > л г = б л >- . Поэтому отображение А jf , © —- у продолжается до эпиморфизма В группе =* -Z3 любой элемент U. однозначно пред­ ставим в следующей нормальной форме (ом. [ 3 ] , с . 243): а *y £, jc (/**■ * ... o tjj3 e i o , / } f £■ e { ± / } J L П гл и'олояпм 6 (u )= SLj CL- ж эта формула задает корректно определен- ноо отображение е •' . Л е м м а . Пусть и , t Uz, , и а <? 2 Л * Z 3 • Тогда e* (rf f и ? ) * i t &(и- ) + 3 k , - 1 . 4