АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

рассмотрим ^ -й коммутатор л п .ъ Тождественно преобразуя равенства (-<)%/ uXz b j,-Q n n *n-i , ^3S агщ * x i A г/ьь получим: \ r t f f f , ; 7 Л * + л л / 4 - * V 6 к b ] -HO A u M fO /m o c f/» ) l что оледует из lIOj и Ш ) ; следовательно, ( А 4 t , f i ) - 1 | и i n 6 fa / сь ] K{ i b i 2 J - что и требовалось доказать. 0. Рассмотрим теперь произвольную подгруппу /1<ёг Воль- с Г} , то в силу I,А) или iB) 1в зависимости от порядке iff.-i, ) , 1Р{М)-П . Еоли же кщ <( /7 , то для любых Cjx 6 М выполняется ; (А\,П) У 1 , где Д - # /4 и - А л 4 и > п \ - порядок 4 ц -2, • Таким образом,’* У /Цф ) = Щ ) 9 (ф ) и t( n ) есть подгруп­ па, изоморфная А/ Поскольку соответствие Ч взаимно однозначно и подгруппу переводит в подгруппу, оно индуиирует структурной автоморфизм группы Q , который обозначил также У . Таким образом, лем­ ма доказана. Как оледует из задания, соответствие С , индупирующее структурный автоморфизм У* , не является ни изоморфизмом, ни звтиыорфизмом на группах класса К . Покажем, что струнтурный автоморфизм / не индуотруется никаким групповым автомор­ физмом. _ Вели такой автоморфизм <Р существует и если для любого Щ = # ’ . то 9(g)* I . Действительно, для элемен­ тов бесконечного порядна это очевидно, для элементов же конеч­ ного порядке легко доказывается методом от противного^ Далее, если для некоторого е Q Щ ) ~ и л и ), то и для любого <}£(г и л и , соответственно, ) -.103 -