АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

имеем неправильный i -разрыв 'W . О п р е д е л е н и е 13. Пусть имеем i - разрыв сло­ ва ■V' * '"WiiAi'W'iг\. Тогда разрыв ввда ТдГ^ЛС -4 , C V in , где С - произвольное слово группы d = Ад х А г . Назовем обобщенным правильным i - разрывом, если i -разрыв слова лО' был правильным, и обобщенным неправильным, если не­ правильным. О п р е д е л е н и е 14. Пусть = А* к Ag , !K G , Ttf* € N , TirSN . Расширение подгруппы М с помо­ щью слова 4 <Г называется корне шм расширением подгруппы N и обозначается ~$pfN>W }. При этом, если 1(1*0=1 (1 ^ то корневое расширение называется расширением 1 -г о рода и обозначается ^ - ( N ) , если же \Iyi ) , то имеем кор­ невое расширение 2 -г о рода / ^ ( N ) . Л е м м а I I . Пусть 'ИГвС = Ад и Аг , N= $f> v fe N , i?*e Kl, 1 ( 1 ^ ) > 1 ( у ) и t/= A a „^ .a n A , где А=|«—{ p • Тогда, сопрягая 1 дГ словом из N , можно преобразовать 'VJ' в слово - А’а , •••а п А'"'' , где А ' есть подслово левой половины некоторого U -символа, причем присоедине­ ние слова V 1 к N равносильно присоединению 1 *Г к N . Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть в слове ' 1 Г=А<а л.--а пА подслово А< не удовлетворяет требуемому условию, то есть его длина не (леньше половины длины максимального U -сим­ вола подгруппы . - Ад . йп Ад* - , Opt.,Gr\Aц = Т ^ ..,ITjj. Здесь - простые слова, 1(ТТУ= U i ) l , где 1^ входит в запись Щ . По предположению, 1(Ад)>(1 ;г ^ 1 . Трансформируя словом 1% , получим слово 1 С KpsinoM А более коротким, чем Ад . Применяя такое преобразование конечное число раз, добьемся шполнения у с ­ ловия: 1 (A) ^ {д) Пусть А удовлетворяет этому требованию и является ми­ нимальным из возможных, созывм