АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

Л е мм а 6. Пусть подгруппа И порождена двумя раз­ личными специальными множествами, то есть H=^p(Mo,S<) и Н = (.Но,S,') , древесное произведение подгруппы ряда (б),- 6ч - древесное произведение подгрупп ряда (7). Тогда существует подгруппа (Mi) = V[ *Ci Vi ряда (6) и существуют такая подгруппа (Mj') ряда (7) и сло’во iJi G Н .что (Mi) = В/ц (М Д Д . Д о к а з а т е л ь с т в о . На основании леммы 5 для кавдой подгруппы (Mi) ряда (6) имеет тесто соотношение: ( м о ^ Л м / M j - 1 = т л , O ') где (НД - некоторая подгруппа ряда (7); анало­ гичные соотношения имеют место для подгрупп ряда (7): (Mp&CJa4(Mi)u4s j -ПГ' . (9*) Используя (90 и (9"), можно построить цепочку вложенных подгрупп наименьшей длины: . ( V (Мр„М ь Ц'-4 ( М ^ )Ц С а г ( Мр г)о.г Q £ о'г Ч Мер2)Ц / £ ... S ^ (Мр,), ___ где 6 \ , u/t' - элементы подгруппы И . (Mpj); j =I,S , подгруппы из ряда (б), (М су.), i =Г7& , подгруппы из ряда (7 ). Из соотношений (Ю) следует: ^ ( М р . ) . г ( ю О Если подгруппа (Ир,) = vp/Cp* l^p-t , Ср, с О , конечная, то = (Мрч) , и в последовательности (10) всюду знак с: нужно затенить равенством, в результате чего сле­ дует справедливость леммы. Если ( Ир,) = Vp\ Ср, v*pi - бесконечная подгруппа, то ( Мр<) содержит трансЛорму Vp,'4K 1/р, , ядро которой не сопряжено ни одному элементу из подгруппы Уц , £ = ^1; и тан как с/, в Н , о/,"1=М((.. Ыд4 , Ц,'4... Ни'4 - слово в Н , то имеет место соотношение в Н : (Нп,4Ki7p<)Uri Ui-V’p/Ki , в котором 11;\. . Кirp,>Un ... H i - простое слово и все Ui -, трансформы, удовлетворяющие условию: