АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

. -4 -4 где , Мц - слово, Upj' - трансформа, принадлежащая некоторой подгруппе ( Ml ' } ряда ( 7 ). Покажем сначала, что слова, стоящие справа в соотноше­ нии ( 8 ) , все являются простыми. Действительно, допустим, что У* равно произведению простых слов: V\. = il/U z'- > мзлщу Uri, tfi+t имеет место касание первого рода. Так как yp(Mo,S) и , то слово tv t ' в подгруппе ур(Нс,Ъ4) будет тоже представлено в виде произведения не менее, чем 1 , простых слов. Но тогда длину крыльев трансформ 1ч K i9 можно укоротить, умножая на слова длины мзныге 2 К* , что невозможно. Теперь покажем, что для любого ^ трансформы Uoj все принадлежат одной подгруппе (M s) ряда ( 7 ) . Для этого пока­ жем, что все слова (8) одновременно являются словами вида ( с ) или ( J ) . Допустим противное. 11усть Vi Ki,, Щ - LI,']... W ^ ^ j1Hcj,UliJ1UriJ^.li.(0CTb слово вида (с ) , а Vi ■■Uau'pUejzUn^ji... U4]s - слово ви­ да 0 9 . Тогда L (lln -^ ) > Ь ( ^ для <3 , U(Hc,y)(,l{Unj,}d, - нетрансформа с изолированной правой закрытой по­ ловиной, ,}■,) , а трансформа Ue3z удовлетворяет условию vli(\Jcji)>ii(llsjz) при £ £0, L(H 4 ,ji - ••U n . j , l l c ; 9 , и так как слова ... и М,',{ ... принадлежат одновременно подгруппе t)p(Mo,S) и имеют длину меньше 2 k t+ I, т о , сопрягая эти - 0 ми элементами трансформы tfj/K j i ri , мы не уменьшим их длины и не увеличим, последнее следует из строения этих слов. Поэтому можно изолированную закрытую левую половину Urij4,|, перевести умножением в закрытую левую половину транс({к_мы Ucjz , что противоречит (Ту) определения 2. Предположим, что все слова в выражениях (S') имеют вид ( с ) . Тогда -Urt, . Пели допустить противное, то получим противоречие с (iv) определения 2 . Но, как сле­ дует из ( 6) , трансфер мы 1Ц принадлежат некоторой под­ группе |M j') рада ( 7 ) , причем если Mnj,} = t $ T K j $ " , где - неизолированная закрытая левая половина, то ( M a W ' C s / . d Л - 62 -