АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

образующими элемэнтами Л ,, . . . , Gn и определяющими соотн о­ шениями Ai = f t i( i t r ) и Oj = У ((^ '£ Д ) . Надо д оказать, что об' не является истинной фактор-полугруппой, т. е . в полугруп­ пе бг справедливы равенства Uj = для всех j 6 Д , Рассматриваем любой изоморфизм т полугруппы & на полугруппу G . По лемме = ( j = I , . . . , r t ) , где отображение является подстановкой! Докажем, что сло­ ва Ai и Si. не содержат определяющих слов полугруппы Уб' в качестве истинных п ов. Допустим противное: пусть А - слово минимальной длины среди всех тех слов, для которых утверждение не верно, и Q - наименьшее из всех определяю­ щих сл ов , содержащихся в слове А . Тогда слово А можно пред ставить так: А—XQY « где слово Q не содержит определяю­ щих сл ов , отличных от се б я . По лемме '{(й ) является опреде­ ляющим словом полугруппы Ст и тем более полугруппы Х г . Т .к . iCf(CI)) =i(d) и i (Q Y i(A ) , то 'f (d ) не содержит оп­ ределяющего слова, отличного от себя, и снова по лемме Ч № ? )) является определяющим словом полугрупп Gr и . Продолжая это рассуждение, мы приходим к выводу, что для любого натурального числа к 4 * 0 3 ) является определяющим словом полугрупп G и J r . Но, т .к . - подстановка, имеющая конечный порядок, то существует натуральное число ± , так ое, что 'f t = € - есть тождественное отображение, в частности, ^ ( Q ) = £ (Q )= 6 . Следовательно, Q является оп­ ределяющим словом полугруппы Gr, но это противоречит усло­ вию J?>с I определения полугруппы , поскольку A h JQ Y и Далее из лемад следует, что равенства '•f(At) являются определяющими соотношениями полугруппы Gr и с по­ мощью тулукции по к (для всякого натурального к ) получаем, что '■pC/U) = Ч к( Ю являются определяющими соотношениями в полугруппе (л . Если у ч есть , что = Ч "1 , то равенст­ ва 4 м (A t) ,4 6 Г также являются определяющими соотношениям;: чсшугруппн Сх . Значит, отображение V полу-v группы G в себя , определенное равенством V (a<.) = У4 (а <) , i * I , . . . , п , является автоморфизмом. Но тогда отображение