АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

L ( U * U* * ) i L (U i), L(U.* ц ... U- л ) L f l O - Поскольку L(ffbq) нечетно, то на основании равенства If'ag =11,...Un. U(Ui) = нечетно, ifa получаем, что ле­ вую закрытую половину не трансфорк « 1Л* можно перевести в левую закрытую половину Ш , и та* как L(U<-' iift)=2 ги, +1; L(UiM--U.a) = 2 т г +1, где 2m, +1<-Ь(уЪд) * 1 =1»2, т о от­ крытую левую половину U* умножением слева на 1^ц.. .Ц.Ли ,...1Ц^,Ь (и,м ... iWU ... tli *)*• L (U i) , можно пе­ ревести в открытую левую половину U* . Однако на основа­ нии ( iv ) определения 2 это невозможно. Тогда открытые ле­ вые половины Ui и Ui'1 равны. Но отсюда следует, что U* - трансформа. Получили противоречие. Аналогично рассуждая, можно показать, что слово U,...U-a не является словом вида <■■&). Цусть l\,..-Un является словом вида ( с ) : U . * l i а —U* »••U*,-* ( U -PU i+*U i*2)U i*3..'U ri , где U; , U i** - нетрансфорш, причем у Ui изолирована левая половина, у U i +2 - правая. L (lU U i*< U» *z) = Li(U i) - L j (U ,*2) - 0-^f) • Heтранс форш U* , 11**2 имеют нечетную длину. Если допустить, что II*. * U **2 . то левая закрытая половина U* не равна левой закрытой половине U i* ,?., и так как L (U ,.- .U ,- „ ) = 2m ,+ I, L (U ,. 3 -.. Ua).=2(T2*I, где 2гД,+1<ЦЩ), 2 rn?+1 <■U ( С-Ц) , то в силу соотношения U * ..-U a закрытую левую половину И* можно перевести в закрытую ле­ вую половину Ц **2 . Но тогда открытую левую половину Ui умножением слева на слово Ui* 3 .>.UnU*... U i-* f L*(Uij...UaU*.*.Ui-* )q.Li( Ui) можно перевебти в открытую левую половину Ц ^ . Однако это противоречит определе­ ния 2 , если открытые леш е половины Ui , U i »2 различ­ ны. Следовательно, они ремы , но тогда равны и закрытые ле­ вые половины U*. , U-^Г 2 , что возможно в случае, если Ui = U i *2 . Получили противоречив. Таким оОраэоН, слово (,(,.•• U a = может быть словом вида ( с ) : ... LLn ,