АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

нитью Ci'^t -2 ••• а } < т0 по п. (в ) леммы Гарсайда нешдленно аледует, что буква является начальной буквой слова О., следовательно, для некоторой положительной косы Q t в Пп-м Q f d i Q d . Тогда . .O jO iQ ,? г а±о\, r 2 •• 0 <.мО(^ч-м<з <»-2 •• С ?1 и, следовательно, по п. (а) леммы Гарсайда Qk*-£..«G^R. = СЦ&<*-4 . . . Q j . Q a и Ъ(# 1 ь- 2 ,£)+Ъ(в 1 1 ) +d)R +dQ*<CO . По индуктивному пред­ положению R = $ i J . 2 , Q* т -|Z для некоторого поло­ жительного Z и, следовательно, Q =C^Q^ [ что и требовалось доказать. “ * Пусть 'k > i +1 . Тогда йг комцутирует с нитью ^k,j- и, следовательно, по п. (в ) леыш Гарсайда 0 ^ является началь­ ной в слове R и для некоторого ft,, имеем R = (5 ^ ^ . Тогда O id iM ...о у < 3 = а к й к ч ? G 1 ( ...Q jO iR 1 =OiQ|t. . . a ! R 1 и, следовательно, по п .( а ) леммы Гарсайда (X •Gy т QKGk-м ...G y R -, и T>(^iMj)+3(^k,p + 3 Q +3R.,^cO . По индуктивноцу предположе­ нию R <= 6 tH ,y 2 , ($ = 6 k-<,j и zE для некоторого £ е П о +4 и> следовательно, R = GtR* =Oi$i+ 4 ,i' 2 .£ 6 x j £ , что и требова­ лось доказать. Докажем утверждение ( 4 ) . Оно немедленно следует из ра­ венства £k,l = 6 ijik.i и п. (в ) лемш Гарсайда. Утверждение ( 5 ) будем доказывать индукцией по СО . Случай I . k = 1 * 4 - 1 , Тогда в Пп-м Ct^Gk+V*. 6 l j — G к . Так как < 4 - начало слова Q 4 .-., R » то "по п .( с ) лемш .Гарсайда для некоторого положительного слова в ПлМ имеет место R =акСи~, Р,,. Тогда G 4 . . .Qj Q f ft * .fOiR, И, следовательно, по п. (а) л е м ш Г ®сМ •• Q i-<Qift* 1 где i,i)f36|+T) R^CcOt Тогда по индуктивноцу предположению для некоторого по­ ложительного Z? имеем Q = выл 2 , R< или ( jJ r ^ k iZ , ft-, г Bl+гЛ z и, следовательно, R R , Так как в полугруппе Г \п+1 -1 * то к Н ? » i ,> m Z , что и требовалось доказать. - 45 -