АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

некоторого положительного С имеет место равенство А =0{С. Т е о р е м а о н и т я х . Пусть в Ппн Тогда (Л с г ; С з) = B| h R Q = R , если i = k , j =1 ; (si т , если i = k , ; , если t =k , ^ > 1 . } ( 4 ) N 7 ^itt >• VJ4 » “ «V t ft f Q г й н ,}"|2 , если j =1 k ; l y t ' Z >Q=rhA Z , если j =1 , i > k } (4) <}?£».,t £ , R ?Ц у 2 , если (<i.-I или - 1 } f к \ /> -> ft о J a. . . “7 ___ I.H J"ji A m R T 2 , если lu -t"4/H f} ( 6 ) Q r ^ , * 12 . R t « { h U ? . если Ы - I и . Аналогично, пусть в Пп-м ^i,/Q т &кдк • Тогда ('?') Q = 2 , R '2: если ( 5 ) если к- (81 G) т 2» к = 6{,1 2 , если k<-i-I или W +I^ (91 <3? «Ц 8k4j-i ••tfy-M*, R=r8i(f I..\yl-ki2, i - I ; ( Ю) Q = ^ M , i 2 » £ если к “ i +I или i + l t k i j и 44 i ; ( I I ) С ) т 4 ч , н 2 , k = 6 i,j 2. , если 1 + К к б 1 и 1 > 1 , . Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть имзет место равенст­ во ( 4 ) , Тогда (I) и (2) утвервдения теор еш следуют непос­ редственно из п. ( а ) леммы Гарсайда. Оба равенства утвервдения ( 3 ) доказываются аналогично. Докажем первое. Тогда в полугруппе Пп^ ишем йл.й «>1 •••OjQ fCi так как по условию V•= С l i c k . Доказательство проведем ■адукцшеI по и) - o t h j) + d ( i k ,i ) + Ъ( 0 ) + 2 >(R), Кеда (О • 0 , и Q • R - I , , k< j и утверждение оче­ видно. Пусть k - i + 1 , тогда в Г^ и имеем 6 ? т ... Of ft в со лемме Гарсайда п . ( с ) буква Q{ является начальной бук­ вой слова ci ^ . j ...O ^ Q , Так как буква 0 ^ коммутирует с - 44 - ч