АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

а для Ti > 2 левонормированный коммутатор веса и определим индуктивно как LХ.|,Х V i I I.LX- j ,Хр , •.•, Х-n л I ,X ti ] (,4) Следую 1 дие соотношения известны, но ш приведем их, так как будем в, дальнейшэм ими пользоваться: | . Х , Ч ] I X . ':1 ‘ | Г Х \ Ч Г Л с5) ■ I X , Ч I ! [ X, У и х ,‘- 1 ( 6 ) • L ХУ, V. I [ Х,Ч |у L У, 11 W Для доказательства- т еор еш I ).М X ItUndVi в L2.J бы­ ла доказана следующая Т е о р е м а 2 . Группа (Д , в кпторой шполняет- ся товдество L X, 411х LX , L*, Х ]| , всегда является абе­ левой. ; / • Этот результат может быть обобщен следующим образом: Т е о р е м а 3 . Группа (Д , в которой выполняет­ ся товдество и , Ч Г " ( ХДХ1 , " (8) где п <■'- , всегда является абелевой. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть t I X ,11 1 . Тогда товдество ( 8 ' перепишется следующим образом: if L 1 или X " г . Х П - L £ , Х _1 ( 9 ) С соотношением (9 ) сделаем следующие преобразования: A £ - ' . t - Отсюда г [ , X n ] - I. с , X I ( 1 0 ) Так как товдество ( 8 ' выполняется для произвольных элементов группы, то заменив в нем X на г , a Y на X получим: 40 -