АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

■), по лемма из П ] , СЦ не может равняться другоцу слову .о полугруппы & . Следователь, оста ется : c u s ^f ) . Если С| а ? - пустое сл ов о, то У = D j в полугруппе ЗЬ" , причем D j# ? . Т .к . изоморфизм отображает единицу полу­ группы на единицу, то У =4*0$) в Сх , где 'f(T>j)ф У , но это невозможно, так как У не является определяющим сло­ вом полугруппы Gr (следовательно, не содержит определяю­ щих с л о в ). Аналогично можно прийти к противоречию, предпо­ лагая, что . Таким образом, все слова Gj и X'd не пустые. ' V Теперь допустим, что 0 - слово минимальной длины ср е­ ди тех определяющих слов полугруппы & , которые не содер­ жат других определяющих слов из & в качестве истинных подслов, и среди всех определяющих слов из & , образы ко­ торых при отображении чР или У"1 не являются определяю­ щими словами полугрупп бг или , Рассмотрим случай, когда С - определяющее слово полу­ группы и С = К - определяющее соотношение той же по­ лугруппы, причем (Ф К. . Тогда в полугруппе Gr имеет мес то равенство У (С ) = ^ ( К ) , причем ЧР(0) Ф*^ (К ). Т .к . ^ (С ) не является определяющим словом, то \f(0)± ХДУ , где 0 <Ф (А )< Ч ^ (С )), 1 ( ^ С ) ) * 1 (С ) и А - определяющее слово в полугруппе Gr . Следовательно, f ’X А) является определяющим словом в полугруппе )& и при обратном отображении тождество УТО=ХАУ переходит в тождество С=У^ООУ"УА)У1^ где <.(vT t A i ) * t ( A ) и. i( A ) * 1 ( 0 ) . Но вто противоречит сп особу выбора слова 0 . , . Если С - определяющее слово и С = 1C - определяющее соотношение полугруппы Ск , то в полугруппе 3&" имеет место равенство у "‘СК) , однако, Ю . Т ,к . у-< (С ) не является определяющим словом, то У '* ( С ) содержит определяющее слово из полугруппы 36" в качестве истинного поделова. Пусть I 5 - определяющее слово из полу­ группы ^ , содержащееся в слове f ' 4CC) и имеющее мини­ мальную длину. Тогда олово можно представить так: 'f-'C C J a X D У , где < К < .(1 » и < ( Г ( е ) И ( С ) . , - 4 -