АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

У/Ч 519.4 Р. А. Александров О ТОЩЕСТВАХ В ГРУППАХ, ВЛЕКУЩИХ АБЕЛЕВОСТЬ Как отмечает Ьукс в монографии [ I J , ' основные вдеи и ме­ тоды теории асе левых групп имеют лишь незначительное сход­ ство с некомцутативыым слечавм, и есть основания полагать, что не существует другого условия, которое имело бы большее значение для групповой структуры, чем коммутативность. Тем интереснее отыскание критериев абелевости, отличных от пря­ мого определения. Так в статье З.М.СтйпсМа [3 3 доказывает­ ся следующая Т е о р е м а i . Группа G , в которой выполняется тождество ,у 1 = tU.,V', У ] , где U ,V , V бе­ рутся из шожества | X , У 1 , у , tj ‘ 1 J , всегда является абелевой. Ранее некоторые частные случаи этой теоремы были д о­ казаны G u p t a С 2 Л. С помощью вышеуказанной теоремы, как сообщает Df.M .GflvuiU i L 3 ] , можно доказать некото­ рые частные случаи следующей гипотезы. Г и п о т е з а I . Группа G* , в которой выполня­ ется тождество r.X .tj .1 - ITU,IT, U , ? I , где 1A,V't ‘V, Ъ берутся из множества , У , в сег­ да является абелевой. Было бы интересно доказать Г и п о т е з у I в пол­ ном объеме и выяснить верна ли она, еасли справа в соотн о­ шении ( I ) стоит произвольное число переменных. Для двух произвольных алементов X и и в группе (\ примем обозначение! ( 2 ) Комцутатор X и ij определим как (3 ) - 39