АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

i - i t ... , 1 Г , не содеркит /Jf*1 . Доказательство проведем индукцией по гг . Если гг= 0, то М. не содержит д по условию. Пусть леша доказана для произ­ ведения К Z о отрезков. Докажем лемму для v = к + I. Слово NHVtl - Hz не содержит X по индуктивному предположению. . Пусть Ц Hv<, Н2= ,iA\ где слово Н i не содержит А ' ' . Тогда 1 ( \ Г и ' Ц Н щ , H1_Hi ^ 1 4 ,/ f ■ В силу определе­ ния представления слово ^ Н\ содержит Д Li 1 , тогда и только тогда, когда слово J4, И1 , где И, = Щ , если 6 четно, и Н/- & { H f ) , есл t нечетно, содержит Д . По лем­ ме 12 С 7 1 M X содержит А в том случае, когда /V, =/^ ///*. fy" И,' = А . где /У, уже не содержит А • Следовательно, если MHVil • HZ H, ~ X 1 . то ? гГ-f-f < 2 т .е. М Нхт +1 ' Н 1 не содержит /^V>'2, что и требовалось доказать. В работе £6 J для групп кос доказана. Л е мма 2 . Если слово ID неприводимо, то Д) не. содер - кит Д2** . Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Нц-Ну,^ Н 1 - представле- 1 ше ID . По условию лемш необходимо. Hz =/А • Если ХГ = I или 1 Г= 2 , то D =Н, или J) = Чг Н, соответ­ ственно. В обоих случаях {(Х > ) <Z С(&г) и, следовательно, (.('D*') ^ t ( X ) - Очевидно, не может содержать X ' • так как Q + - однородная полугруппа. Пусть 1Г>, з . Обозначим С ^ Н Ь Н-. Тогда Ц) - £ Dj и Т>*'т:С Н,Н,С НгН, СНг Н, / D t ^ ^{г И1С есть сдвиг сло­ ва X ) . Пусть - CH,r" Н *'1 является представлением J )j . Так ш ] ) неприводимо, то . Рассмотрим слово СНг //,<Г ■ В.силу максимальности отрезка Н, в СНг Н} в се буквы, делящие слови С |Дг справа, делят отрезок И 1 слева, п следовательно, они делят слева слово Н, С .П о л еш е 6 [ 7 J максимальный отрезок И, С явлдотся отрезком и в слове СНг Н,С и, тем боДее, тж аглл ьным отрезком в слове Нг И^С . Следовательно, для неко­ торого С имеем: Н, С = СН ?' . Аналогично в се буквы,, делящие слово С справа, будет делить слева отрезок и те?; более долить слева слово Иг С . тотд а по лепке 6 [ 7J гтаксимальчнй г ..р е з о к Н 2 ' слова Н £ ' гшеимален и в слове C W ( ~СС^г ■ - ?б -