АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

Пусть $ С имеет конечный порядок и БС свободно приводи­ мо, то есть В з В ^ Б г В з , С = В з О 2^1 , где B jB ^— I . Если, в этом случае, > 1 /4 R , то Ь и С являются степеня­ ми одной и той же части одного и того же определяющего сло­ ва, а группа, ими пороченная, будет циклической. Если ВлБ 1 < 1 /4 R , то при ВаЧ /4 В или Cg 1 /4 R. получаем противоречие с условием Т определения класса групп посред­ ством определяющих слов, соответствующих по лемке 2 словам Ъ , С и ЪС . Если же В2> I/4R и Og > 1 /4 R , то Ъг^г есть часть определяющего слова, которое совпадает как с Х р , так и с Y * . Но тогда Са и В.}Бч имэют непустое общее на­ чало, что противоречит свободной приведенности определяющих сл ов . Следовательно, ВС не может иметь конечный порядок. _ Таким образом, либо Ъ и С , а значит и fib'h и ])СУ ) есть степени одного и того же элемента конечного порядка, то есть порождают циклическую группу, либо ВС е сть элемент бесконечного порядка. ’ _ Цусть теперь р = I . Покажем, что в этом случае РВРО является элементом бесконечного порядка. Для этого устано­ вим, что при помощи свободных приведений и R -приведений слово РВРС не моивт быть сведено к части определяющего слова. Слово РЬРС можно считать свободно приведенным, так как в противном случае слова В и С можно заменить их цик­ лическими перестановками и уменьшить длину слова Р . Пусть слово “Р£>РС не содержит подслова, не входящего ни в какое определяющее слово. Возможности R. -приведений слова Р&РС зависят от наличия границ, совпадающих с началами и концами слов V , V , В и С . В слове "РВРС И-прцведение не мо­ жет захватить части В или С , которая ? I /4 R , так как в противном случае, в силу определения сл ога , будет захвачено все Б или, соответственно, , что влечет свободную приво­ димость с л о в а _ РВРС . Поэтому В и С являются слогами и ни Р" , ни V не могут ни начинаться, ни оканчиваться гра­ ницей. Два R -приведения слова РБРС , затрагивающие В , так же невозможны, так как впекли бы невозможную циклическую свободную приводимость слова В . Таким образом, слово Ь и, аналогично, слово Р не могут начинаться и одновременно