АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

' Т е о р е м а I . Если сл от? О - R-приведено, но приводимо, ю 0 - обобщенно R.-приводимо. Д о к а з а т е л ь с т в о . По лемме 12 слово С с о ­ держит подслово А т . Если для А не шполне- но условие максимальности, то увеличим А,, или. А т , отч е­ го уменьшится или Ъ т . Однако новая завещающаяся часть будет также неприводимой, как подслово неприводимого слова. Если от таких изменений нарушаются неравенства ( А* . . . A I , и |А^ . . . A m H S j -Ъ/Х 1бч< - m , то уменьшим m . До единицы in уменьшиться не может, так как слово С - R-приведено. Теорема I доказана. Т е о р е м а 2 . Подгруппа Т-1/4-группы , порожденная двумя элементами конечного порядка, либо является цикличес­ кой,либо содержит элемент бесконечного порядка. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть свободно приведен­ ные слова ХВ'А и ЪС'£> обозначают элементы конечного поряд­ ка, где А и D являются неприводимыми словами, а В ' и С' - циклически неприводимыми. Кроме т о г о , согласно лемме 2 , существуют слова X И Y » натуральные числа р , С\, , t* и а такие, что Хр и У4’'являются определяющими словами и С 'з У 8. Можно подобрать и jb таким образом, чтобы (АВ 'А ) = АВА , (Ш > / _ -DOD И I/4fUfe^ I/2R, I/4R^C4 I/2R, причем 7ГВА И ПУФ По-преяне»фг свободно приведенные сл о­ ва, а В И С цийГЙЧЙбКИ неприводимы и являются некоторы­ ми степенями X и Y соответственно. Покажем, что всйи элемент УВАРОВ имеет конечный по­ рядок, то ПрупЛа, порожденная и ЪСЪ является цик­ лической. Обозначив неприводимое сл ов о, равное АХ> , через Р , получим слово Ъ гС Р , Пусть Р“ I . Есйи ЪС имеет конечный порядок я свобод ­ но приведено, т о , согласно лемме 2 , слово ВС есть часть определяющего слова, которое совпадает как с X *3 , так и с У 4' . Следовательно, группа, порожденная В и С, является циклической. - 31 -