АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

Л в м_м а 4 . Пусть слово АВС свободно приведено и АВС'"*' АИС . Тогда для любого слога Г из АНС , отлич­ ного от И, Т а й < 1 /4 Я . Д о к а з а т е л ь с т в о . Цусть TS^-R и Т— А гЩ , где i ^ t -Ц— Т Ы , Й-Н^Нг и 1 = А2^ЛП Т , A - A^A2 . Если H^ j 5 - I / 4 R , то, по условию С /1 /4 /, имеем тождество НВ> = S Ag , которое влечет невозможную свободную при­ водимость слова АВС . Лемма 4 доказана. Л е м м а 5 . Если ИВ и ИС являются различными элемен­ тами из R с максимальным общим началом Н , то слово ВС не содержит слогов,отличных от В и С . Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть и Т —B g C i , где 1 * 0 , s T n O , I # B a - B n T , В = В » В 2 , С - С , С 2 . Тогда определение слова ЕН , Н С и C ,S B 2 противоречат условию Т-определения класса групп. Л е м м а 6 . Цусть слово А В ( В А ) свободно приведе­ но, В - R -приведено и Тогда после П -кратного R -приведения слова СЕ>(ВС) получим свободно приведенное слово Е о Е- i -** En - i l nBn , где D a - завещающая часть последнего (п - о г о ) R -приведения, Ва - конец (на­ чало) В . Слово Е0 Е, ... Еп -1 Ьп - R -приведено, Et f- I для \ = I ..........п - I и D a > 1 / 4 R . Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем доказательство инду 1 щией по количеству проведенных R -приведений в слу­ чае, когда преобразуется слово А В . Если уав проведено К R -приведений слова СВ , т о , в силу леммы 4, иьвеы следую­ щий порядок» СВ = Ео,CKft-i — E c TRB/ i ® Е с Е»Р(В^,В 2 — - Е о Е ^ В г ~ * “ Е оЕ ,... Е к - г ^ м В к н ® 31 EoE-i Ek-? Bw-f.Pr< Bk-i Bk —*• ЕоЕ, ...Ek-iEk-1 Ьк Bk , где D* - максимальный конец 1. i , захваченный i -м R -при - ведениеы, B im - максимальное начало B i - i , захваченное \ -м R-приведением, D i - завещающая часть i - го R -при­ вадения. Предположив, что слово Е0Е .,« .. Ek - i PkBk - свободно - 21 -