АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

СГ а . 2 ) .......... ( P t . l ) ) . Применим к N преобразование 9 , затем к 5(М ) снова преобразование j , и т . д . , через конечное число шагов получим подгруппу , инвариантную относитель­ но преобразования *3 , то есть ') = NC'^ . Если характеристика подгруппы имеет вид = ( рх , 1 ) , то р/, = 2 , так как вспомогательный ряд в этом случае состои т из подгрупп Ад и Аа . Отсюда следует, что М либо подгруппа из A i , либо свободное произведение 84 н или свободное произведение с объединением В„ * Бг ( B ^ A i , i = I , 2 , Н ^ Ц ') . По лемме 10 3(N) ко­ нечно порождена. Допустим, что характеристика имеет вид ......... ( р р , 1 ') ) . П ол еш ь 17 X(N(<)) 4 Л (М ). К полученной подгруппе применяем преобразова­ ние корневого расширения 2 - г о рода несколько р а з, пока не получим подгруппу N (21 , инвариантную относительно это­ го преобразования (.леммы 15 и 1 6 ). Этот процесс закончит­ ся через конечное число шагов. В результате будем иметь *( n (2>H x ( n c<)). Затем снова применяем преобразование 5 к N ' И т .д , ^ерез конечное число шагов характеристика подгруп­ пы станет равной (р „, I ) либо стабилизируется. Тогда на основании лемм 16 и 18 через конечное число примэнений преобразований ^ и подгруппа стабилизируется. На основании лемхы 20 эта подгруппа инвариантна и относи­ тельно преобразования , Таким образом, получим подгруппу N , инвариантную относительно преобразований и . Отсюда сле­ д ует, что 3 ( N ) = f t . С л е д с т в и е I . Группа А* х А * , где Ач , Аг обладают свойством К , так ,,' обладают этим свойством . С л о д с т в и е 2 С П . Свободная группа конечного ранга обладает свойством К , - III