АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

иденная подгруппа группы G = Ан ^ Ая, -А* и Ag облада­ ют свойством К , ? ( Н ) = Н и J(M) = N • Тогда # 5 r ( N ) * N . Д о к а з а т е л ь с т в о . Преобразование корнево­ го расширена 1 -г о рода состои т в присоединении трансформ. Пусть У *' * “ нормальная запись трансформы - V и Ц'к- = . . . . Здесь а ^ Н , так как иначе Q £ И в силу изолированности Н , что невозможно для нормальной записи. В слове l»fk сокра 1 цений нет и i ('W'lk) = 1 ( V ) . По условию 5(М ) = N , по лемме 19 запись трансформы 'ЦТ *1 в U. -символах N имзет вид: 'l3 '^ u ;...U - <U 0 U i...U ,= C a ke '<,U 0 e (M j )1 Покажем, что 1 <Гв N . Если Са^С "1 есть произведе­ ние простых слов, то длину С можно укоротить и у W , и у . Поэтому можно считать Со^С "4 простым словом: С с^ С '4 = U ^ ... Ui” U 0 U.i •••Щ . Пусть U c - элемент максимальной длины. Так как I L - трансформа, то, сопря­ гая C a k С '1 слрвом U 4 ...U k , длина которого меньше длины Uo , трансфорцу С а ^ С "1 переведем в ( C V C '"4)1 = Uo . Одновременно ItT преобразуется в С 'а/ С''< , причем присоединение UT и трансформы к М равносильны. Поскольку У * £ N , то и (С 'о 'С '"* )к £ N , Из то го , что С'о'*С '~4 €-(M j) и J(AM j)) s ( M j ) следу­ е т , что Са'Сч С ( Мj ) , откуда кГбМ . Пусть теперь - максимальный элемент. Возможны два случая: C(Uo)=<,(Ui) и {(Но) . Слово = u 4... u i - d U i U c U ^ u ^ ... и ;4 • считаем простым согласно адш изложенному, и слово U 4 > U^ U 0 . . . U 4 тоже простое. i ) K i w - i u u ) . Пусть Ц ^ { г .Л$Кгд...г\,, Uo=р; 4 ...г^о 0 г,$...л( , a 0 ( Z И. - 10 9 -