АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ 1983 г.

вложенных подгрупп группы Сх = £ А 2 » гд е N<=J(Ni- 0 * 1 = 1 , 2 , . . . , S . . . . , соответствует цепочка характеристик J(,o;» X ( 0 ^J(.t2>> .• • ^ x cs)> ... Если, начиная с некоторого номэра, выполнено усл ови е: <**">= ... , (16 ) , то существует такое П 00 , что либо «(О , либо подгруппы N i , начиная с Nj-tn , совпадают. Д о к а з а т е л ь с т в о . 5(№г)=др(Ио,3(ИД.,.Л(МО)' Пусть U t - множество U -символов подгруппы , а V i - подгруппы J (N i) и Д и < ) = . При приведении множества j ( V i ) к множеству \ )i длины слов не квшются и подслова левых и праш х половин не меняются, иначе характеристика изменилась бы . Приведем ряд (Д М ,) , . . . , V ( M K) к р яд у ( м ; ) , . . . , ( М к О , а ? ) обладающее свойствами порождающих подгрупп (лемма I ) . В силу свойства максимальности И это можно сделать через конечное число шагов с помощью преобразований 1 -Ш СЗ ], Подгруппы ряда (17) и (И р ) являются порождающими для j ( N i ) . Но (M i') могут быть не изолированы b G , поэтому к 5 (Mi) снова примзним преобразование 1 , При условии (16) чередование преобразований 5 , I , П, Ш до построения подгрупп, инвариантных относительно всех этих преобразований, может быть только конечным, так как число различных подслов левых и правых половин трансформ и не- трансформ не меняется и при преобразованиях I - Шдобав­ ляются трансфорш типа к некоторым подгруппам (W j) . Но число таких трансформ конечно, так кая Н обладает условием максимальности. Таким образом, через конечное число шагов ш либо по­ лучим подгруппу , инвариантную относительно пре­ образования О ., либо J( ( N; » п ) > J ( ( N . Л е м м а 19. Всякое слово £ <jp (M o ,S ) группы - 107 -