АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

ТЕОРЕМА 3 . Пусть W, , W3 _ произвольные слова группы Артина конечного типа G- , удовлетворяющие соотношению W, Wa =W2 V / , . Тогда в С разрешима проблема пересечения циклических подгрупп { Щ ) и (И /а ) . Доказательство теоремы равносильно решению уравнения 1 где а , m * Z дизъюнкции w / ^ w A ( I I ) . Решеше уравнения ( I I ) эквивалентно решению щ л = W z ' и л и (W 7 f/ , =Vv<r, (I2 )'^ где п , т ( Я . Будем рассматривать уравнение вид'' ЩП = W j, где п , т 6 Я . Запишем представления слов W ( , Wa . W i “ t y , ... Hi, ДР< , w , = ... Hi, APa , где p<, f t f Z , P,, p i - - четные И ^ . .. Ну, и Н ^ . , , Н ц « G-t’ . Предположим, что n ^ r r i . ' Выберем y o = m . a a i i p (|, lp2 l} и преобразуем уравнение (12) следующим образом: й~21°пл 2У°п W,n = А 1ч° т& * ° т Wi т 2 у ( a **> w , ) п = д Ч ° i n m K ^ y° w a Г Обозначим A Sy° W( = W, , Л , 1/V,, kVj Тогда (13) примет вид: д ау0 ( я - т ) ^ п = |Д /Д . Так как txz-т , то имеем равенство в ( ? + . Пусть (1 3 ) (14) L (W z ) - k z L Q+ i 1L L (W, ) =k l L 0 + х2> где / , 0 = /,(д ). Из уравнения (14) получаем условие на длины: 2 у 0 (n - m ) L 0 + ( k s L 0 + tlsi)m -■( k , L 0 + l t) a . Тогда: ( 2 y 0L0 - k tL0- Z t ) n = ( 2 y 0n0 - k s L 0 - Z 2)m. Возможны следующие случаи. СЛУЧАИ I . 2 ^ 0n 0 - k 1L0 - t , = C ) а 2 y 0n 0~k3 L 0 - 7 Я +0. Тогда т - 0 и,следовательно, уравнение '14 ) ...леет смысл рассматривать при W3 = (, т . е . W2 будет степенью эле­ мента А . В этом случае уравнение (14) ~меет вид 2 и„п __ \7, п А 3 - *»г . Т ак т: образом, задача сводится к выяснению, - 91 -