АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. На основагат леммы 19 перейдем от слов W, , W s к слова!.! = И / / " ^ , ~Vz = WsL(lv^ и будем рас­ сматривать уравнение V, = ^2 . (7) Ясно, п о слова Vf } Vs либо оба дельта слова (определе­ ние см. [ 6 ] ) , либо оба не дельта слова. СЛУЧАЙ X. V, , V2 н" дельта слова; так как V,V2 =Va V( , то в группе G- ( V , y ') * = /. (8) Запишем представление (см . [ 6]) слова У, .,. Hit А р у где р - четное и p ( Z , . Для то го , чтобы имело место равенство (8) необходимо, чтобы (hfo ... Hjf е a s то есть слово Hjs .. должно быть дельта словом, д о ­ смотрим всевозможные сопряженные степени слова Hji о ... ^приводимыми основами [6L Чепез конечное число шагов мы либо устанавливаем, что дельта слово, либо находим сопряженную степень о неприводимой основой, имеющую д о су больную 2т™ ° + 2 т 0 . (Тогда по лемме 6 [6] Hj. не дель­ т а слово и ,следовательно, соотношение (8) не имеет места . ) Пусть Hj ... Hj t - дельта слово, тогда существуют числа п а и четкое L таки е, чти; (9) Подставляя V, Va",= Hjf Др в (8) и выбирая k=n0t , получим: Hi(4 Р )к = ( Н ^ . . . Н ^ ) п° ^ Р п° 1= А и+ Р п° 1= /. Откуда: t ( L +p n о) =° , L + p n o - 0 . ( ю ) СЛУЧАЙ 2. VJ , V2 - дел ьта олова. ЛЕША 20. Если V, , Vs -д е л ь та слова, т . е . 1 п а , п.'а и L , L ' - четные таки е, что: = Д ^ , = A L’ , то урав­ нение (7) имеет решение тогд а и только то гд а, когда Ln'o ~L'n0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть для некоторого к але ет место ( 7 ) . Тогда (V , к) Г}° п '° - \ У ^ ) ПоП° , откуда i-n'eKn кЦ п с к , , ,г А о - Л и,следовательно,. ь п 0 ~ ь - 90 -