АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

H ,*=0 a£ . Получил противоречие. ЛЕМЙА В.[5] Если. Н, - свободное от квадратов олово и АН, 8= = С д , то существуют свободные от квадратов слова Н2 и Н3 таки е, что А = А ,Н 2 , В=Н3В, и Н2 Н,Н3 ~Л ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. С каждым словом Н, свяжем параметр q(H,)=L(A ) - L ( H t ) . Доказательство проведем индзнщиеи по пара­ метру q ( Н , ) . Если Ц (Н,)=0, то L (H,)=L(A) и, следовательно, Н, =А . Так как пустое слово свободно от квадрато: , то лемма ) очевидна. Пусть для любого слова Н , для которого q (H ) ^ k , где к > 0 , л е т а в е рш . Докажем лемму для Н с <f(H)=k+f. Возможны случаи. СЛУЧАИ I . Пусть А = Зар и Ctf, не делит К слева. По условию ЪОрН,В=СА и по л е т е 5 а pH, свободно от квад­ ратов. Так как q (OpH ,)= k , то по индуктивному предположе­ нию существуют свободные от квадратов слова F, и к2 такие, что D^A,F, , В = £, В, и ь, ОрН( /^ =? А . Следовательно, QpH, свободно от квадратов. СЛУЧАЛ П. Пусть 8=QpQ , где dp не делит Н, справа. Рассматривается аналогично. СЛУЧАЛ Ш. Множество б уш , делящих 8 слева, содержится в множестве букв, делящих Н, справа, а множество букв, делящих '*> А справа,содержится в ш ажестве букв. Делящих Hi слева. Так как множество букв, делящих 6 слева,содержится в множестве букв, делящих АН , сщ ^ в а , следовательно, но лем­ ме 3, любая буква делит А Н , справа. Значит, АН , ?Ей при некотором Е . Так как множество букв,делящих Д . справа,содержится в множестве букв, делящих Н, сл е в а, то по л е т е 3 Н* делится слева на все буквы Of , , п Следовательно, Н, =a , q ( n ,) = 0 , но q (H ,)= k * f. Полученное противоречие доказывает л ещ у . Следующая лемма, доказанная в работе F5J для групп к о с, легко переносится на гр;ппы Артипа конечного типа. ЛЕММА 8 / Если А Х ^ Х В в , то Х=Н,Н2 ...Нк , где каждое слово Hj овободно от квадратов, и существует такая последовательность слов А0>Аь ...,4* , что Д0 5 :Д , Ак х В и Ai-lHi?HiAl ( i =< ,2,...,k) . - 86 -