АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

( i i- ) каждое конечное подмножество полугруппы G* обла­ дает наименьшим общим кратным; (U L ) каноническое отображение G+—G- инъективно и для любого А существуют такие Б , С е £ , что А=ЬС~' , причем образ элемента С в группе Q принадлежит ее цент­ ру. ТЕОРЕМА [4 ]. Пусть М - матрица Коксетера. фундамен­ тальный элемент А в Crt существует тогда и только тогд а, когда группа G■ конечна. ТЕОРЕМА АРТТША [4 ]. В группах Лртина конечного типа р аз­ решима проблема тождества слов. ТЕОРЕМА ГАРСАдЩА [4 ]. Если положительные слова У k W равны (сопряжены) в группе £ , то они равны (сопряжены) и в полугруппе £ + . И И А 6 . Если U V =A з Сг+ , то V6(U) * 6 ( V ) U ? A . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем равенство в группе G- : 6 Q r ) V * e ( V ) U V V *= & (V ) a V - ' . Испольвуем лемму 2: 6 ( V ) U =6 ( V ) A V ~ ' = A 6 a ( V ) V ~ , = A V V - (=A . Так как 6 ( V ) U и А - положительные олова, то по теореме Гарсайда S ( V ) U = A b £ + . ЛЕММА 7.. Пуоть Н, -свободное от квадратов олово и АН/ . Если каждая буква d p , делящая слово А спра­ в а , делит Н, сл ева, то (2^ делит Н{ справа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. От противного. Предположим, что <3(- не делит оправа. Тогда по л еш е 5 олово Н ,а£ свободно от | квадратов. Для слова H( a L существует свободное от квадратов слови Hg тако е, что Н) о 1&(На ) = л . Рассмотрим олово J) ^ АН 1На&(Н,)=Са1Ня в (Н 1) ’=СА . По лемме 3 каждая буква Qj. , £=1,2, ..., П} либо делит слово А оправа, либо делит олово Н, Нябг(Н,) олева. Набор букв, делящих олово Н( НЛ^(Н() слева, содержит набор букв,делящих слева слово К, , а последний по условию содержит в себе набор букв, делящих А справа. Следовательно, каждая б у т а С1у, £ =1,2 , . . . . п , делит Н/Нц^Н,) сл ева. Тогда существует слово 6 такое, что Н,Нг 6'(Н,') = й д . Так кш« Л = £2^б "('Н <) , то Н,Нлб(Н,) =&о^Н^б(Н( ). Сокращая последнее равенство, получим - 85 -