АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

(I) ( и ) i все х IVe-G-j W a - j » A 7 Gj (W ). Ясно, что из равенства ( I ) немедленно следует W € a ^ a ^ ( W £). Первое утверждение следующей лемм" непосредственно выте­ к ает из ( I ) : ЛЕММА 3 [4 ]. Пусть существует фундаментальный элемент ^ о . Тогда для любых У , V , \Л справедливы следующие утверждешш: ( i ) элемент А 3 д е .л т U слева тогда и только тог­ д а , когда он делит U справа; (<•£ ) если А й делит произведение V W , то всякая буква Qj. с либо делят множитель V справа, либо делит множитель W слева. Если положительное слово W имеет вид \ N ~ U b b V ( т”т,е V , V - положительные слова, а b - произвольная бук­ в а , то мы говорим, что слово V*/ содержит квадрат. Назовем положительное слово W свободным от квадратов, если не суще­ ствует положительно эквивалентного W слова V ,. содержащего квадрат. ' В следующей лемме установлены' важные свойства фундалюн- тального элемента. ЛЕММА 4 [4 ]. Если для подмножества H c J существует фундаментальный элемент , то : ( £ ) элемент ^ GJ свободен от квадратов тогда и только тогд а, когда он является делителем ; ( t i ) наименьшее общее кратное множества свободных от квадратов элементов полугруппы % свободно от квадратов. Следующая лемма доказана з U ) в несколько иной формули­ ровке. ЛЕША 5. Если элемент U е G+ свободен от квадратов и буква о.j не делит U слева ( сп р а в а ), то . слово V (соответственно ) свободно, от квадратов. Полугруппы Артина (?+, обладающие фундаментальным элемен­ те:.!, можно охарактеризовать в терминах свойств канонического о 'обракек-вт их в группы Артина & . ЦРН3510ШШ 4 . Для всякой матрицы Коксетера М следу­ ющие утверждения эквивалентны: ( с ) в 6 + существует фундаментальный элемент А ; - 84