АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

Основной результат этой статьи : ТЕОРНЛА. В группах Артина конечного типа разрешима про­ блема корня. Группа Артина задается образующими а , , а г а п и определяющими соотношениями а ^ С ^ а . ... =cij. Ci^cy... , где слова, стоящие слева и справа, состоят каждое из /т ^ чередующихся букв <3, и ; при этом т у - элементы неко­ торой матрицы Коксетера М=(гПу ) , i , / * I L 2 I . Добавляя к определяющим соотношениям группы Артина Gr еще соотношения <2, = I , <•'е I , получим представление груп­ пы Коксетера G- . Если группа 5 конечна, то соответст­ вующая группа G называется группой Артина конечного типа. Будем йен )Льзовать обозначения и понятия, введенные в работах [ 1 ,3 ,5 ] . Пусть А и В - положительные сл о за . Будем говорить, что А и 6 сопряжены в полугруппе G-* , если существует такое положительное слово Q , что AQ = Q 8 или Q 4 - B Q В &+ . Из однородности полугруппы G сл еду ет, :то сопряжен­ ные в Gr+ слова А и В имеют одну и ту же длину. По всякому положительному слову W . может быть найдено конеч­ ное множество V (W) слов, сопряженных слову G . Каждое V, е \) (W ) можно переписать в виде V; =Л l \Ni , где \N- l уже не содержит . В множестве слов [W ,} выберем слова минимальной длины Wf , W z , , W m . Обозначим полученное множество (и ( IV) = {И/, , W/2 >. , , f Wm ) . jiEi41A I [ l ] . Множество ju(lV) ьаподуто относительно соп­ ряженности. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. От противного. Пусть W, * (w ( W и существует Q та то е, что W, <3= (3 W c г где f (и(И/^ , Так к ак L ( W l ) =L (WL ) , то существует At тако е, что IV, & kl е O ( W ) . ^ Тогда гГ2*1 , то есть 0 4 ^ * 0 0 “ Q(VVi42<r‘ ) . Значит IV, Д2*1 € i)(t Ы). В силу определения множества ( h (W ) Wt * (И (1А/). Пусть А - произвольное слово груша. G- . Зудом го­ ворить, что уравнение Х п~А имеет решеше в G- , если существуют слово Х . „ € & и H ганае, что Перепишем уравнение CI) в виде Х п =W/?m (2) , где - 73 -