АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

Эта проблема равносильна ответу на вопрос, поставленный Бирман С2 ] : "Существуют ли во втором коммутанте F свободной груп­ пы Fn = < x ^ x a > слова А1 , Аа Ап , не все равные единице, такие что выполняется свободное равенство п. п. П А х А - = П ос. . i=i “ L l i=i L ( I) Положительный ответ на вопрос показывает,что гаснеровское представление неточное, а отрицательный - что точное". Известно, что при п-*2 нет решения даже из первого ком­ мутанта. При п. =з к аш навдено три решения, в которых каждое А- принадлежит первому, но, однако не принадлежит второму коммутанту. Видимо, при И =3 можно указать бесконечное множест­ во решений из первого коммутанта. Основываясь на вышеизложен­ ном, мы выдвигаем гипотезу, что уже при п =4 существует реше­ ние, в котором каждое Ai принадлежит второму коммутанту. Поэтому наша за д а н . - найти как можно больше решений ив пер­ вого коммутанта и среди них искать решения из второго. Для этого мы при П =3 привлекаем графы, затем построение графов заменяем алгоритмом, цо которому ЗИЛ может определять, суще­ ствует ли для данной тройки длин ( /Д ,/ , (А , / , I 1) слов А3 , А2 , А} решение ( А1 , Аа , А3) уравнения (I) , а также алгоритм, по которому малыша может выдавать решения ив перво­ го коммутанта. № полагаем, что применение этих методов в случаю п =4 в конечном итоге даст искомое решение из второ­ го коммутанта» Нда^ излагаются наши методы. § J . Графический метод При л- =3 уравнение ( I ) принимает вид А, \ хл А3А3 х 3А3=х,хлхл , (1.1) где А. - краткое обозначение A i . Аналогично будем вместо х ' 1 писать х - . Вудем рассматривать уравнение ( I . I ) для случая I А 3 | <С I / >2 I » (1 .2 ) причем с условием, что после сокращения в левой части остают­ ся первые символы Х 1х 3 от трачсформы 7? = А1 х . А л и послед­ ний символ х 3 от траноформы = А а х 3 А 3 . Докажем, что при этом Т7 Т2 - несократимое' слово. Действительно, поскольку i А, I -с / Ая I . , то на стыке Тг и Т3 должны быть сокращения, - 63 -