АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

то и , и г . . . и п ) > L (U j) , . Последнее соотношение противоречит тому, что слово и , . . М п - простое, поэтому и , . и п Теперь рассмотрим произвольное слово и г .,и п и разобь­ ем его на простые слова аналогично тому, как это сделано выше. Таким образом, получим: U, и п = If, va ...v t , где каждое ££ , i =*fF , - простое слово, между I/, , Vi+f имеет мес­ то касание первого рода. Поэтому L (u .i ..M ri) =L ( v :t ...v-t ) ^ L ( v 'i ) ^ L ( ( ^ y Знак равенства соответствует только простым словам. СЛЕДСТВИЕ I . Если в слове и ,...и п выполнить сокраще- ш е в группе G * , то в нем сокращение не затронет по край­ ней мере левую половину слова U , . СЛЕДСТВИЕ 2. Всякое слово и (< .. . и ^ подгруп­ пы ^p(M0>S ) может быть представлено в виде произведения простых слов . Ukj , f */< i , между которым имеет место касание первого рода. Пусть u r ..Un - простое слово подгруппы gp(JU0 , S ) . Из доказательства леммы 7 следует один из перечисленных ниже случаев. (а) Слово и , . . . и п содержит u t - нетрансформу такую,что L ( U i) > L ( U j ) , (б) Слово u t . . . и п содержит нетрансформу UL и трансфор­ му Ui n или наоборот таки е, что L (U ihL (u lH) = L ( и , ) t L ( u L) > L ( U j ) t . (с) Слово u ,...u n содержит нетрансформы м* , и и г и трансформу U, такие, что L ( u i) = L ( U i+z) =1 ( щ и ^ Ш ^ и м ) , Ц и + Ш щ ) , причем O ^ L ( u ^ , ) . (rf) Слово a r . . u n содержит трансформу и,- такую, что L (U i). L ( u / ) , , i - f / s j a n . Пусть u ,...,U n . - простое слово одного ив видов (.a)-(d)t подслово его , начинающееся и заканчивающееся и - символами максимальной длины, обозначим через w . Тогда Ц ... u n - u t . . . u ^ w u t f u ill...u e t . Испольв.уч доказательство леммы 7 , можно пок азать, что олово разбивается на подслова: - 32 -