АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

(14) Доказательство непосредственно использует определение 3 , леммы 2 и 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Будем говорить, что между словами V; , vk подгруппы Cfp(Jlt0,S ) имеет место касание первого, второ­ го или третьего рода, если длина произведения соответ­ ственно больде, равна или меньше г п а х Ш щ ), • ЛЕММА 7. Пусть U,U^ . . . LLn - произвольное слово груп­ пы д р (М 0,£ ) , между любыми двумя соседними сомножителями UL и u-i+f которого имеется касание второго рода. Если для сомножителей U , , и г ......... и.а имеет место следующая сис­ тема соотношений: (%.(L(Ur . . u U l)=m a x{L (u t .. u t ),Ц и .ц ,)}))b Ш и ,...u n ) 4 m x ix {L (u t ... Д l (u n )J ) ' .Un ')=^ir\xix.{L(Cif...Uri^i')>L (U.rl )}, (15) Доказательство леммы проводится методом математической индукции и аналогично доказательству леммы 5 в ( I ) . ТЕОРЕМА 2 . Пусть и {.. и п _ слово подгруппы gp(M 0,S ) , тогда L ( u r..,u n ) ^ l ( u l ) ' Где . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим предварительно простое сло­ во и , . . . ц п . Покажем, что оно удовлетворяет следующей систе­ ме соотношений: e 2 / i ) ( U u f ...U ; ) = m a x U ( u r .<7, Д L ( u t )\. Предположим, что это не та к . Тогда разбиваем слово и , .. .и п на подслова следующим образом: Щ=и / иг , если L (u ,u t ) =т.азс { L ( и ,) , L (и ) ] ■ w i ui , если L ( щ и 3) = т а х { Ь ( щ ) , К и 3) } ; шкГг , если L v ufkri \ ) =т ах { I ( ^ 3) >L (ик/)} Если 1(иТцч и Кн)>пигх {L (щ.г,), L (иКН) } ' , то сокращение между словами f не поглощает полностью закрытую левую половину Ик н и закрытую правую половину Urk f .Обо­ значим W^4= u ,...u ki '-чрез v ; . Начиная с и к+1 , последова­ тельно строим щ г ... . г щ ч , и если > то M0B0 обозначим через щ , и так далов. Черев коночное число шагов получим разбиение слова ’i t ...u n на подслова ц , v k : - 31 -