АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

ТЕОРЕМА. 2 . Группа автоморфизмов : эммутативной полугруп­ пы с двумя образующими конечна. В самом д ел е, по лемме I мы можем считать, что в комму­ тативной полугруппе JC выполняется соотношение a - I w c o t J ) > причем вхождение ос в слово W не фиктивно. Все элементы полугруппы мы будем представлять в воде a V r , где р , г - неотрицательные целые числа. Пусть \х /- д Г Если т = о , то для существования у полугруппы S ' бес­ конечной группы автоморфизмов необходимо выполнение в ней также соотношения вида а= Ч , где ш , где lg г >> У так как в противном случае ЗГ имеет лишь конечное число базисов. По этой же причине всегда конеч­ на груш а автоморфизмов у полугруппы, в которой выполняется равенство о с - О с ' к при к >о . Таким образом, следующие две леммы полностью решают воп­ рос при т= о . ЛЕММА 2. Пусть в коммутативной полугруппе S выполня­ ются равенства а = и ~ а * ё е* s при ; п , К , £ >0 . Тогда полугруппа О имеет конечную группу автоморфизмов. Доказательство леммы легко следует из то го , что множество элементов $ , не являющихся степенями / , конечно, так как дат любого такого элемента заведомо найдется равный ему элемент a pf>' , где р * т -а с с{т .>к \ , t~ ^ / n . a x { n £ + s \ . Аналогично устанавливается справедливость следующего утве; ждения. ЛЫ.КА 3. Пусть в коммутативной полугруппе S ' выполня­ ются равенства (,=ocm-(i' n и при »о . Тогда полугруппа. 3 тлеет конечную группу автоморфизмов. Оусгъ т = ' пт. {х IсЭп.'х я = а " х£п' у > . Нам осталось рассмотреть случай;, когда т.т>1. Итак, в полугруппе S выполнявтая с .отношение - 131 -