АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

ЛЕШ I . Для того, чтобы полугруппа имела бесконечную группу автоморфизмов, необходимо, чтобы в ней выполнялось соот- ношекае в; 1 да а - U/с л ,...) , где а - один из образующих полу- груплы,' W - некоторое слово, причем вхождение «- в слово W не фикт.шно. Справедливость леммы легко следует из то го , что в против­ ном случае полугруппа имее^ единственный базис. Обозначил число вхождений букв и в слово № . ТЕОРЕМА. I . Группа авт морфизмов коммутативной полугруп­ пы с одним ооотношением может быть бесконечна лишь в том случае, если соотношение тл еет вид и Сл ( l#') Заметим, что аналог этой теоремы в классе всех полугрупп с одним соотношением неверен. Контрпримером может служить полугруппа < и , I • cl - 6 осбсс&*а-& л / > . Перейден к доказательству теоремы. По лемме I единствен­ ное соотношеше можно записать в виде где т > 1 , / г ,, .. ., п.н - неотрицательные целые числа. Так как базис полугруппы при автоморфизме переходит в некоторый базис, любой автоморфизм должен индуцироваться отображением вида / ^ , где о - неотрйца.альные целые числа. При этом в полу^улн е дсосало выполняться соотношение Л £о * \ ..£ * * = а т '4 1/г’ *т Ь Легко видеть, что • • • а * # . . = с Г г* У ' п' . . . Отсюда ясно, что нео'' "одимо выяс.:нение для воех г в (V ,...,/*■> равенств п . f . ( m - i ) . Значив, для каждого * может существовать лишь один а гоморфизм полугруппы. Но если i t n . , то все 1 \ г п . , и слово CLl g * \.. £** равно в полугруппе некоторому слову , где р < т . , откуда и следует конечность группы автоморфизмов. - 130 -