АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

полугрупп пн I вида: 4 5 ПОЛУЧИМ, ЧТО 0Ш1 будут подсловами 2) а Д г Ъ 3 )А? С l d ° 4) Г * С К 5 ) 4*^<4 6 ) с гЫ ^ Тл J., или С C l * или oL^ а * 3 Ш с ъ 6 -3* ШШ a[d* £ ^ 3 или oL °5 с 7* (в полугруппе Пг ) (в полугруппе /7 ) (в полугруппе ) (в полугруппе n s ) (в полугруппе П ) . /} л <*/ >d2 Без ограничения общности можно считать, что ,4 Д ^ Д • Из этого следует, что a 7 i> ? j . Если бы это было не так , то определяющие'слова вида 2 и определяющие слова вида 3 разбивались бы на два нормальных. Но из этого следует, что Д >Д j j l > Д ; П рихода к противоречию, ибо определяющие .слова вида 5 и 6 разбиваются на два нормальных слова. Это противоречит К. и тем самым показано, что утвержде- определению класса ние леммы 2 верно. Теперь можно до к азать, что имеет место следующая ЛЕММА. 3. Полугруппа !7„ имеет два образующих. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что полугруппа Па имеет три образующих a .,S ,c . Тогда рассуждениями, аналогичными рас­ суждениям леммы. 2 , легко показывается, что определяющими сло­ вами в полугруппах Д > Д и Д ( Пч , /7. , Д такие ж е,как в лемме 2 ), будут слова вида: I ) a / * или / А * * , 2 ) а .064 с 7» или С 7>О?* 3 ' ^ или С 7* / А . Так же, как в лемме 2 , легко показывается, что об, > Д , и Д >Д , что наличие трех образующих в полугруппе П0 пока на приводит к противоречию. Введем обозначения ^ ~Д - Д , тогда Д ~ Д — 0i . Перепишем опре­ деляющие слова вида t ,2 и 3 , учитывая введенные обозначения и опустив индексы у об , ,э и У~ . 1 ) a V 4 ш ^ и i f i -Ч а* - 2) а ”6 ^ с 7 или СТ Си'" ^ 3 ) { Л с Г~мл ил.. - 127 -