АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

моноидов к юс свободному произведению. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть G - группа без кручения, в ко­ торую РА - моноид вложим, = GL и В - произвольный подмоноида моноида М , который не содер.дт нетривиальное свободное произведение. Обозначш под­ группу группы G , порожденную подмоноидом В , через $ . Из теоремы Куроша получаем разложение типа ( I ) для '/О , Ясно, что существует один сомножитель в этом разложении,так - как иначе В содержал бы нетривиальное свободное проиьделе­ ние. СЛУЧАЙ I . Этим_сомножителем является Е^ . Тогда Ъ=В = Т 1 HLT , где & Or- и Т удовлетворяет тем же условиям, как в случае 2~а теоремы I . Пусть Хг= " Г 8 7~'г . Тогда У ■с Н- с От и М ^ В - Т V - T , откуда следует, что 7" ±1 е М К - ^ Е \- . Так как является 7Г - моноидом, то либо существует такой циклический моноид С , что’ К .с С ^ ЛА Л/, шхбо содержит нетривиальное свободнее произведение. Отсюда В<= Т ' - ' С Т с М . СЛУЧАЙ 2. Этим сомножителем является Р . Тогда В <=F . Пусть <- d- e # ) является множеством неедиш чш х порождающих элементов моноида £ . Группа имеет ранг I , поскольку В не содержит нетриви­ альное свободное произведение. Следовательно, V^V^-V^ ^ для всех # . Ко это влечет коммутативность моноида В и группы F . Поэтому F является бесконечной циклической группой. Пусть . Ясно, что 3 обладает одним из требуемых свойств, селя пли 5 с < W 1у , В прот-шном случае можно до к азать , как в случае 2-6 теорем- I , что некоторый моноид М содержит такие ноединичныэ элементы X И У , что У Y = 1 = YX . Отсюда следует, что <Х , У > , к ак коммутаташгай подооиоид 5 - моноида , не содержит нетривиальное свободное про­ изведение и поэтому содержится в циклическом под?:л"ОГДе М*. „■ Следовательно, найдется J? а и натуральные числа £ , ip такие, что У~Е и . Мы заключаем,что Z £**=.KY= 1 , а это противоречит тому, что GK является группой без кру­ чения. Теорема доказана. - 121 -