АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

Предположим, что 7L*1, Vt1 и Ve < U/ % Если 'Л<г G- l , то И У е-М1 и В с Л7,- . Но /%• является /М - моноидом. Поэтому В обладает свойством А или разлагается в нетривиальное свободное произведение. Если же W G L , то ^ П т Г / l k A П Т L ’ ^ /г i-« <• / • ’ где е<яг . , i ... /> * / V <ч e<: ’ "V <г i *Л--, > t y h t ■) cs~?(-s Z j j i i \ * Wis И r W hjih S ^ 2 Если Г » / , to e . Если , to \x/(±1 e W£ • В любом случае некоторый моноид содержит такие неединичные элементы X и У m> XУ= 7= УХ . Следовательно, 4 X ,Y > изотдорфна фактор- моноиду свободной группы ранга I , Но фактор-моноид цикличе­ ской группы вложим в группу без кручения в том и только том случае, когда он является либо единичной группой, либо сво­ бодной группой ранга I . Так как первая возможность противо­ речит условиям X А 1 7 Y f i , то можно заключить, что <Х, У> - свободная группа ранга I. Значит, В вложим в свободную группу ранга I , которая вложима в Мк • Поэтому В вложим в РА - монозд Мк и обладает свойством А . Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Теорема I перестает быть верной, если удалить ограничение о числе образующих элементов из определе­ ния I . Это видно из того факта, что в свободном моноиде ранга 2 , порожденным (I я & , подмонои д <а6а.,6&6 г а.6 > неразложим в нетривиальное свободное произведение. ЗАМЕЧАНИЕ 3 . Если в теореме I для всех / взять в качестве М. бесконечные циклические моноиды, а в качестве свойства А - вяожимость в беоконечннй циклический моноид, то мы палгчда теорему Блюма С I ] . Впрочем, для этого частного случая можно вкачителы о упростить наше доказательство л е - дувщям образом: по теореме Нильсона-Шрейера Ф - свободная группа ранга I или 2. Легко видеть, что в первом случае В вложим в бесконечный циклический моноид, а во втором S =< 2 l > * < V>. ТЕОИМА 2 . Свойство S наследуется при переходе от - 120 -