АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

различными элементами, скажем, 21 и V , через 3 и подгруппу группы G , порожденную 21 и V , через Ъ . Применяя теорему Куроша к подгруппе <7) , получаем: (1) где F - свободная группа, а всякое сопряжено в Сг с некоторой подгруппой одного из сошожителей G-L Так как U *1 или V * 1 , то можно предположить, что нет единичных сомножителей в разложешш ( I ) . Тогда из теоремы Грушко следует, что там тлеется один или два сомножителя. СЛУЧАИ I . Существуют два сомножителя в ( J ) . Из теоремы Грушко следует, что оба эти сомножителя явля­ ются циклическими группами. Так как £г - группа без кручения, то Ф является свободной группой ранга 2, Следовательно, 7 ) = < < & ? > и Q - < U > * < V > СЛУЧАЙ 2. Существует один сомножитель в ( I ) . Рассмотршл следующие возможности. СЛУЧАЙ 2 -а . Этим сомножителем является В 1 . Тогда << U , \/5 > * Е = Т ~ \ Т , где Нг с Q . . Следовательно, ?1~Р~ГК. РПТ. и V=TC О. П Тк, <t=r </ / ‘t у } г 1 * где Р ,0 .£ (х ^ , откуда ясно, что 7 ^ 6 /% . и Pt Q с 2 L . Так как F)'■ является *РА -^моноидом, то <£ Pt Q > обладает свойством А или разлагается в нетриви­ альное свободное произведение. Но В ~ < &!JV > = s < P Jfi>>oTKy,ua следует, что 3 обладает свойством Л или разлагается в нетривиальное свободное произведение. ’ЛУЧДЙ£-б.г Этшл сомножителем является F , свободная группа ранга > 2. По теореме Грушко, F будет свободная группа ранга 2 . Тогда IL и V свободно порождает F , откуда следует, что = и b =<U>* <V> СЛУЧАЙ 2 -в . Этшл сомножителем является F , свободная группа ранга I . Пусть F - . Если В С- Р- ' Х /"? или 3 е <. то В , кале подмоноид бесконечного циклического моноида, обладает свойством А . - 119 -