АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

§ 2. Определения и обозначения Как обычно, свойство моноидов назовем абстрактным, если будучи верным для моноида М , оно обязательно выполняется и для любого изоморфного ему моноида М ' . 0ПРВДЕШВ1Е I . Пусть А - некоторое абстрактное свойство моноидов, которым обладают все подмоноиды бесконеч­ ного циклического моноида. Тогда моноид М назовем РА -мо­ ноидом, если он вложим в т у ш у без кручения и каждый его подмонолд, порожденный дал л элементами, обладает свойством А или разлагается в нетривиальное свободное произведение. ЗАМЕЧАНИЕ I . В качестве свойства А мы можем в зя т ь , например, любое из следующих: а) вложимость в (бесконечные) циклические моноиды; б) коммутативность; в) нильпотентность с упени и ( И = 2 ,3 , . . . ) ; г) бесконечность; д) каждый элемент имеет не более одного п -г о корня ( п. = 2 ,3 , . . . ) ; е) каждый элемент имеет конечное число корней всевоз­ можных порядков. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 . Моноид Л/ называется S -моноидом, если он вложим в группу без кручения и каждый его подмоноид содер­ жится в циклическом подмоноиде моноида t l или содержит не­ тривиальное свободное произведение. Подмоноид, порожденный элементами Mf, а ^ , • •• > , обо­ значим через < а ч, а 2Т. , a подгруппу, порожденную этими же элементами, - через ^ ' § 3 . Теоремы и следствия TL-РЕМА I . Свойства РА наследуются при переходе от моноидов к их свободному произведению. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть G . - группа без кручения, в ко­ торую вложим РА -моноид М- $ = П * М ; я . Ясно, что 6г - группа без кручения, в которую вложим мо­ ноид М - . Обозначил произвольный подмоноид М , порожденный двумя - 118 -