АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

4 . Основной является следующая теорема. ТЕОРЕМА 4 . Пусть сомножители произведения G r~ A ,* A a обладают свойством R . Если в оомножителях А с ( i - f , 2 ) 1) разрешила проблема пересечения классов смежности ко­ не /но порожденных подгрупп, 2) разрешима проблема построения нормализатора, 3) существует алгоритм, устанавливающий сопряженность двух множеств подгрупп, то существует алгоритм., позволяющий установить для любых двух мнажеотв конечно порождечк-х под­ групп IH J и № , имеется ли такое , что & (Z~,HIZ'H[). L-I ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. На основании [5] для любых двух под­ групп HL и Н' можно эфлфективно установить, оопряжены они или нет в свободном произведении. В нашем случае разрешимость проблемы вхождения следует из проблемы пересечения классов смежности, сопряженность дана по условию, то есть выполнены условия теоремы Молдаванского [5]. Допустим, что для множеств и {Н-)(=1, ф существует такое х.е& , что &(■? , (16) то есть каждой подгруппе llL соответствует сопряженная под­ группа Н ' . Для пары (HL,H[) можно определить Z ^C r такой,что Отсюда п из (16) следуют соотношения: Д(2У,:Н £ Z4=H i)> то е с т ь О т с ю д а тлеем: (z ,z ',~hl )&L St(zz Z~'=h2) b , где hi ^ Ng ( Н ; ). Отсюда ( i 7 ) Отсюда следует, что нахождение Л , удовлетворяющего усло­ виям (IS ), эквивалентно решению системы уравнений (1 7 ). Это решение есть пересечение классов смежности конечно порожден­ ных подгрупп. Из теоремы 3 и условия сл еду ет, что система (17) эффективно разрешима. Теорема доказана. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Будем говорить, что группа fi обладает свойством К , если пересечение конечно порожденных подгрупп в 8 еоть конечно порожденная подгруппа. Справедлива ЛЕММА 8 . Если группа 6 I) обладает свойством Я ; 2) в 6 разрешима проблема пересечения классов смежности лю­ бых двух конечно порожденпх подгрупп; 3) существует алгоритм, - 115 -