АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

2 . Рассмотрим алгоритм построения нормализатора под­ группы свободного произведения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 . Если нормализатор каждой конечно порож­ денной подгруппы И группы G конечно порожден, то будем г о в 'р и т ь , что группа G- обладает свойством R . ЛЕММА 6 . Пусть С=А,*АЯ и Н 'б ,* в д , где 8 л 4 ,, 8 ^ 4 . Тогда Н совпадает со своим нормализатором: N q ,(Н)=Н. Доказательство очевидно. TEOP0.U I . Если в группе G=A,*Aa сомножители А, и Ая обладают свойством R , то & наследует это свойство. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что конечно порожденная под­ группа Н группы & имеет соответствующее юиьсенивскому множеству образующих разложение в свободное произведение: (4) Возможны два случая. СЛУЧАИ I . Разложение (4) с одеp a rт хотя бы один сомно­ житель, сопряженный с подгруппой некоторого сомножителя груп­ пы G- . Найдем все элементы 2«-/Уа (Н ) , гторо дющке /VG(H). Наша вадача - п о к азать, что таких элементов существует лишь конечное множество, если Н конечно порождена, я r 'H z ^ H . Здесь А ц г(~ {^, Будем сопрягать последнее равенство с помощью элемента V} • = ц р ; I f ' * V ,АЦу1ц ' * . .. * t $ А ^ п<3v r f. Здест _ подгруппа из (г , порожденная яд,^ди образующих подгруппы A v^ t . D ^ A t . Образующие подгруппы ЦрЦ1* ! ) * - * trf A vm tnfg Ц 1 приведем к кильсеновскому множе­ ств у . В результате она перепишется так : F * (5) Подгруппа D не и зм еш тся в результате приведения множества образующих к нильсеновскому. Допустим, что в образующие "<ли- 1(77