АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

Приведем правую часть выражения и" = и'-/...U'-'Ou,...unu 0 ип<... и/) и;... и'п, ( 2 ) к слову. Оно будет содержать трансформу типа Uo . Отсюда по свойству I ’щльсеновского множества следует, что длина этого слова в группе £ больше или равна длине и 0 . Получили противоречие. Аналогично можно показать, что не может быть и L(Ua) <L ( u i \ Следовательно, L(u0)=L(Ua)=L(u2) . Отсюда сле­ д у е т, что слово (2) простое. Если u n0=v^K,V^ и Uo=VcKgV[' и irt ? ifj , то есть Ц , и U" - трансформы разного типа, то в силу соотношения (2) иолучаем, что трансформы разного типа можно перевести друг в друга, чего быть не может. Итак, U„ и - трансфор­ мы одного типа. Отсюда трансфорлы и'0 и и а тоже одного типа. Токажем, что в выражении (2) равны слова и г ..и п и и ',...и 'п , , /'ля этого приведем произведение и'п ! ,..и '/и ,.. и ^ к слову в подгруппе Н , Если и'~1,.,.и '1чи 1. . . и п — / , то все доказано. Цусть и ^ /...и 'гч и ,.. и п * /. . Тогда U 'J.,.u'~,u r ..u n=U^U^.,.и (. Подставим это в ( 2 ) : i 4 = и ; 'и " ..и £ ^ ч г ' . u f ' u r ' . (3) Если допустить, что (3) не слово, то отсюда будет следовать, что и'к' - трансформа типа и 0 . Объе.диняя трансформы одного тго а U0U f ,=u0 t получим и %- и ”иЦ. ■Mk.lu 0U'£_',,..Uf4U f Данное выражение является словом, трансформы и% , и с одного типа. 1 (и '4 - Ц ц?.. ■Uk / U'k 'r , . uf~UCU\4Q есть U*. ■■ й дU.%4- . . U.f~f - простое слово. Рассуждая, как в лемме 4 , мокра п о к азать, что иЦ ... / / £ =/. • Тогда и'п / . .Ц '/ и ,. ,. и п= . Отсюда и г ,м п- и ; . . . и ^ и } . Слева стоит слово, оправа - тоже, так как Ц ' . я в л я е т с я с л о вш , и элементы и'п> , не являются трансформами одного типа, следовательно, и u'a r, и ? - тоже. Отсюда n = n '+ f , u,=*u',t . . u n ~ и к . Однако это противоречит тому, что и;...ипи * 4 - . 4 - слово, т . е . Uk ~ I . Тем самым показано, что тутвветву^т /i,‘ Н3 тако е, что h^Z-'Aq - A v tJ , f = f>a Обращая рассуждение - южно п ок азать, что имеется обратное включение, отсюда h ' l z ’A ^ j 2 /t, ~A'Vi j . - IOo -