АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

что трех бить не может. Голи их три, то , используя лемму I , можно показать, что ими являются Ц п , Ua , Un , l (u n ) L ( u J . и ^ и ^ .u j). з деоь и о - трансформа, и п - нетрансформа с изолированной левой половиной. 1(иг и п f)<L(u<,hL(un ) Следовательно, умножением на слово U4..M„.f более коротко" дайны изалировашшя левая половина п переводится б лев^ю половину трансформы V f'K щ , что н ев о з- мокно в силу выполнения леммы X. Таким образом, максимальный - элемент и с является единственным. Покажем теп ерь, что и г м п =< L(u,.. u n ) < i ( u 0) = t ( u r ..unu 0t r ^ . . . u ; ' ) Сокращение между Ci,.:.Un и U„ не доходит до ядра ^ f u 0= V fff<'vl t то есть до К ' , Поэтому имеем Ц ” 4 ••• и п Ч < отсюда и , . , и а -Ч Следовательно, и а= щ 'Ь'Ц- ЛЭДДА 5. Пусть G = A * A 3 и И, , Ня - подгруппы груп­ пы G , имеющие разложения: соответствующие их нильсенов.жам образующим. Тогда из сущест­ вования Z<G тако го , что 2 'Н ,3~Нг , следует r n * n Y , п = п ' , и существуют (Ы (,(т+гО ) такие, что z h { - 2 'А Vm+j,2 ' ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Н, сопряжена с На : &'Н,2=НЯ. Возьмем две различные трансформы,- принадлежащие какой-либо подгруппе Ъ 'А ц ' 1 * : % К, % ' , д,Кг у / . Ош принадлежат по условию подгруппе г/8 , По лемме 3 имеем: $ M ^ U< -U nUoU-n ч ' , q<Kz$'=u'r .u'n,u;u'n!...u' -/ Покажем, что и и 0 принадлежат одной подгруппе Трансформируем последние соотношения подсловом и ^ и 'г .. и/п, : и != и £ .. и ? ( д ,К 9 ; 1) и г - К ' = и £ . • Ч М ■ 4 , 4 , 4 ,'. 4 г , 4 = 4 , - . 4 Ч - Ч м - Так как . то по лемме 4 u£(Atrj t3 . Покажем, что Ч и 4> - трансформы одного типа. Допуст м, что L(u<,)>L(u.5)^L(ul>). - 105 -