АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1981 г.

Щ ~^,х1у..Льиц--Хт1^Киу*1-пггл%-- ^1иц> где CwTi--Л ь щ Ф LiUq . , Л кщ , 1& k ^ m in { n ,r n \ , не существу­ ет слова u n g jiiW " } 7 И ш ) < 2 к , такого, что w l liixL...li(uyf= l-iu)f-l-ku]2. Доказательство проводится методом математической индук- ции по длине слова. Проведем в произведешш все сокращения в группе Cr^At * /l3 , получим слоговую запись элемег а /г : h.=or ..o n ,п>1. Используя свойства шиьсеновского множества [ 3 ] , можно доказать следующую л е т у . Л 0Ш 2 . Каждый слог Ci£ из равенства h~ar .,a a имеет вид: Ск = х ^ ^ 1 , i. = ~f,li , где ду - центральный или правый слог u j 4 , у , - центральный слог LL , Z L - левый или центральный слог U j+I. ЛЕША 3 (лемма Куроша для нильсеновского множества). Всякач трансформа группы G~\*A2 , принадлежащая подгруппе И! , порожденной нкльсеновским множеством, удовлетворяющим лемме I , имеет вид: .u f,,u0u ft... u f , где iy'...u^u^utl...ut - олово в Н и U0 - трансформа из A ^ L . Доказательство проведется методом математической индук­ ции по длине слова U ,U 2 ..M k =y~'Kg. ЛЕММА 4 . Пусть подгруппа Н группы G=A,*/12 имеет раз­ ложение , (1) соответствующее ее нильсеювским образующим, и -трано- форма из И , причем в разложении (I) содержится сомножитель АVI,! . Тогда v-'KvL 6 АгГ',. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 3 V^,KVi=U1...UnU1>U^...Щ'. Так как правая часть является словом в Н , то ([2])покажем, что вто простое слово. Если допустить противное, то есть vi'Kvi>‘ ur ..Un.UoUn - есть произведение простых слов, то умножением на и г? можно сократить дайну 1 фыла v f ' , что неосуществимо, так как Щ является левой половиной виль­ соновского образующего. В простом слове и1...ипи0и?...и? может быть один или три максимальных и - символа. Покажем, - 104 -