Университет XXI века: научное измерение

«Университет XXI века: научное измерение» – 2025 210 А. А. Сафронов Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого КРУГОВЫЕ ЛОКАЛЬНЫЕ МИНИМУМЫ И ИХ СВЯЗЬ С ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ СТРУКТУРАМИ В ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО АНАЛИЗА Аннотация. Работа ставит вопрос о природе так называемых круговых локальных ми- нимумов функции погрешности в задачах рационального приближения вещественных чисел и выдвигает гипотезу об их гиперболическом происхождении. Работа носит постановочный характер: формулируется проблема, выделяются ключевые направления дальнейшего иссле- дования и намечаются возможные приложения в построении высокоточных алгоритмов при- ближённого анализа. Ключевые слова: рациональные приближения, цепные дроби, гиперболическая геомет- рия, фуксовы группы, локальные минимумы, круговая симметрия, верхняя полуплоскость. Постановка вопроса Задача приближённого анализа заключается в нахождении рациональных чисел / , приближающих заданное вещественное число с минимальной по- грешностью. Помимо глобальных наилучших приближений, важную роль иг- рают локальные минимумы функции погрешности, особенно при ограничениях на рост знаменателя. При визуализации распределения таких минимумов для фиксированного , можно наблюдать скопления локальных минимумов, распо- лагающихся вдоль замкнутых или почти круговых форм в координатах ( , ) или в проективной модели, возникают кольцевые скопления точек-минимумов. Эти скопления мы называем круговыми локальными минимумами. Из вышеупомянутого следует вопрос – могут ли круговые структуры быть связаны с особенностями поведения решёток или другими гиперболическими структурами, известными из приближённого анализа? Связь с теоретико-числовыми методами приближённого анализа Рациональные приближения вещественных чисел традиционно изучаются через цепные дроби, а также с использованием решёточных методов. В этом кон- тексте числа и интерпретируются как координаты точек в двумерной ре- шётке, а сама функция приближения как функция на решётке. В работах В. А. Быковского сформулированы методы изучения локальных минимумов на решётках с использованием многогранников Клейна. Показано, что вершины этих многогранников соответствуют локальным минимумам, и что между ними существует определённая симметрия. Таким образом, наблюдаемые круговые конфигурации могут быть объяс- нены структурой решёток, к которым применяются методы теоретико-числового анализа. Круговая форма не является следствием евклидовой метрики, а возникает как выражение внутренних закономерностей, выявленных через алгоритмы вы- числения локальных минимумов.