Университет XXI века: научное измерение

Физика, математика, информатика 191 Здесь 0 0 (0,0) u u = – главный член регулярной части асимптотики, определя- емый из функционального уравнения. Главные члены 0 (0, ) τ Π и 0 ( ,0) Q ξ соот- ветствующих погранслойных функций определяются из обыкновенных диффе- ренциальных уравнений. Кроме этого, для краткости обозначено ( ) ( ,0,0,0) F u F u = , а растянутые переменные имеют вид 2 , x t ξ τ ε ε = = . Дополнительно предполагается, что в угловых точках границы функция F по переменной u является кубической. Поведение кубических многочленов в окрестностях угловых точек границы может быть весьма разнообразным. На разрешимость задачи (4) - (6) существенное влияние оказывает характер моно- тонности и выпуклости функции ( ) F u , поэтому именно эти свойства берутся за основу классификации кубических многочленов. Будем рассматривать кубические многочлены, которые возрастают и не ме- няют направления выпуклости на промежутке от корня 0 u до граничного значе- ния ϕ . Функции ( ) F u должны удовлетворять следующим условиям. 1) Функция ( ) F u является кубическим многочленом с корнем 0 u : ( ) ( ) 2 0 ( ) F u A u u u pu q = − + + . 2) Функция ( ) F u возрастает на промежутке от корня 0 u до граничного значения ϕ , причем 0 u ϕ < . 3) Единственная точка перегиба функции ( ) F u не принадлежит проме- жутку [ ] 0 , u ϕ . Для доказательства существования решения задачи (4) - (6) используется метод верхних и нижних решений. В рамках этого метода строятся барьерные функции, удовлетворяющие экспоненциальным оценкам убывания вида 0 ( , ) exp( ( )) P C k ξ τ ξ τ ≤ − + при ξ τ + →∞ , (7) где C и k - некоторые положительные числа. Для построения барьеров вводятся так называемые опорные барьерные функции, которые могут выступать в роли барьерных во всей области или ее части. Выделено всего три опорных барьерных функции: 0 0 1 2 3 0 0 0 (0, ) ( ,0) ( , ) 0, ( , ) , ( , ) (0, ) ( ,0) Q Z Z Z Q u τ ξ ξ τ ξ τ ξ τ τ ξ ϕ Π ≡ = − = − Π − , и одна функция, удовлетворяющая необходимой оценке (7): 4 ( , ) exp( ( )) Z C k ξ τ ξ τ = − + , где C и k - некоторые положительные числа. Если многочлен ( ) F u удовлетворяет условиям 1), 2), его старший коэффи- циент положителен и точка перегиба расположена левее корня 0 u , то во всей области 0, 0 ξ τ > > работают барьеры 1 ( , ) Z ξ τ и 3 ( , ) Z ξ τ : 0 0 0 2 (0, ) ( ,0) ( , ) 0 Q P τ ξ ξ τ − Π ≤ ≤ .