Университет XXI века: научное измерение

«Университет XXI века: научное измерение» – 2025 190 И. В. Денисов Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого О КЛАССИФИКАЦИИ КУБИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ В НЕЛИНЕЙНОМ МЕТОДЕ УГЛОВЫХ ПОГРАНИЧНЫХ ФУНКЦИЙ Аннотация. Для сингулярно возмущенных параболических уравнений с начально-кра- евыми условиями первого рода в рамках нелинейного метода угловых пограничных функций рассматривается возможность доказательства существования решений нелинейных краевых задач через построение барьерных функций. Ключевые слова: нелинейные краевые задачи, барьерные функции. В прямоугольнике { } ( , ) | 0 1, 0 x t x t T Ω = < < < < для сингулярно возмущен- ного параболического уравнения 2 2 2 2 ( , , , ) u u a F u x t x t ε ε   ∂ ∂ − =   ∂ ∂   (1) рассматривается начально-краевая задача ( ,0, ) ( ), 0 1 u x x x ε ϕ = ≤ ≤ , (2) 1 2 (0, , ) ( ), (1, , ) ( ), 0 u t t u t t t T ε ψ ε ψ = = ≤ ≤ . (3) Предполагаются выполненными стандартные условия нелинейного метода угловых пограничных функций (см., например, [1]). Решение задачи (1) - (3) ищется в виде асимптотического ряда, состоящего из шести частей: ( ) ( ) * * ( , , ) u x t u Q Q P P ε = + Π + + + + . Здесь u - регулярная часть асимптотики, которая играет роль внутри прямо- угольника Ω . Погранслойные функции Π , Q и * Q играют роль вблизи сторон прямоугольника Ω соответственно 0, 0, 1 t x x = = = . Угловые пограничные функции P и * P играют роль вблизи вершин прямоугольника Ω соответ- ственно (0,0) и (1,0) . Формальная процедура построения регулярной части асимптотики и по- гранслойных функций хорошо отработана и подробно описана в [2]. Основные трудности связаны с задачей определения главного члена угловой части асимп- тотики. В окрестности точки (0,0) такая задача для 0 ( , ) P ξ τ ставится в области растянутых переменных 0, 0 ξ τ > > и имеет вид ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 2 (0, ) ( ,0) ( , ) P P a F u Q P τ ξ ξ τ ξ τ ∂ ∂ − = + Π + + − ∂ ∂ ( ) ( ) 0 0 0 0 (0, ) ( ,0) F u F u Q η ξ − + Π − + , (4) 0 0 (0, ) (0, ) P τ τ = −Π , 0 0 ( ,0) ( ,0) P Q ξ ξ = − , (5) 0 ( , ) 0 P ξ τ → при ξ τ + →∞ . (6)