Университет XXI века: научное измерение

Физика, математика, информатика 185 Сетки вида = �� 1 � , … , � �� ( = 1, 2, … , ) , (3) где = и целые 1 , … , взаимно просты с , называются произвольными параллелепипедаль- ными сетками. Сетки (3), в которых величины 1 , … , являются оптимальными коэффи- циентами по модулю , называются оптимальными параллелепипедальными сет- ками или просто параллелепипедальными сетками. Лемма 2. (см. [2, с. 98]) Пусть = и 1 , … , – произвольные целые. Если ряд Фурье функции ( 1 , … , ) сходится абсолютно, то погрешность квадратур- ной формулы ∫ … 1 0 ∫ ( 1 , … , ) 1 … = 1 ∑ �� 1 � , … , � �� − (119) =1 1 0 удо- влетворяет равенству = � ( 1 , … , ) ( 1 1 + ⋯+ ), ∞ 1 ,…, = −∞ где ( 1 , … , ) – коэффициенты Фурье функции . Если, кроме того, ∈ (С) , то | | ≤ � ( 1 1 + ⋯+ ) ( 1 … ) ∞ 1 ,…, = −∞ . На практике коэффициенты подбираются с помощью минимизации спе- циальной функции: ( ) = 3 ���1 − 2 � �� 2 −1 =1 =1 где ∈ [1, − 1], которая была предложена в работе [4]. Оптимальные коэффициенты вычисляются по формуле: = −1  , = 1, … , . Алгоритм: 1. Задать размерность и простое число . 2. Перебрать значения в диапазоне от 1 до − 1 . 3. Для каждого вычислить ( ) . 4. Найти 0 , при котором ( ) минимально. 5. Подставить 0 в формулу для получения . Этот алгоритм требует ( 2 ) арифметических операций. В той-же статье был предложен более экономный алгоритм, работающий за � 4 3 �. Для случая, когда = ′ ′′ , ( ′ , ′′ ) = 1 , используется обобщённый метод с функцией: ( ) = 3 ���1 − 2 � � ′ + ′′ � �� 2 −1 =1 =1