Университет XXI века: научное измерение

Физика, математика, информатика 183 константы, вместо обозначают (С) и заменяют предыдущую оценку нера- венством |С( 1 , … , )| ≤ ( 1 … ) Если ( 1 , … , ) ∈ (С) , то ряд Фурье функции ( 1 , … , ) сходится аб- солютно, так что при любых 1 , … , будет справедливо равенство ( 1 , … , ) = ∑ С( 1 , … , ) −2 ( 1 1 +⋯+ ) ∞ 1 ,… , = −∞ . Теорема 1. (см. [1, с. 49]) Если = и ( 1 , … , ) ∈ (С) , то для по- грешности квадратурной формулы � … 1 0 � ( 1 , … , ) 1 … = 1 � … � � 1 , … , � − =1 1 =1 1 0 Справедлива оценка = � − �. Эта оценка на классе ( ) является достижимой. Теорема 2. (см. [1, с. 70]) Пусть ∈ (С) и – сумма модулей коэффици- ентов Фурье функции . Если – простое, большее , и = 2 , то для погреш- ности квадратурной формулы � … 1 0 � ( 1 , … , ) 1 … = 1 � �� � , … , � �� − 1 =1 1 0 Справедлива оценка | | ≤ ( −1) √ + 2 , Где – некоторая константа, зависящая только от Как было сказано в теоремах 1 и 2, для погрешности квадратурных формул с равномерными и, соответственно, неравномерными сетками в классе спра- ведливы оценки = � − � и = � − 1 2 � Существует теорема, которая показывает, что не исключена возможность существования сеток, при которых для погрешности соответствующих квадра- турных формул на классе будет выполнятся оценка ( , ) −1 . В работе И. Ф. Шарыгина доказывается теорема, которая представлена ниже, о точности квадратурных формул на классе ( ) . Теорема 3. (см. [2, с. 4]) Пусть в единичном – мерном кубе заданы точек = � 1,…, �, = 1, 2, … , ; тогда в классе ( ) найдётся функция ( 1 , … , ) , обращающаяся в нуль в точках и такая, что ∫ … 1 0 ∫ ( 1 , … , ) 1 … ≥ 1 0 ( , ) −1 , т.е. точность квадратурных формул на классе ( ) , использую- щих значение функции в N точках, не меньше ( , ) −1 .