Университет XXI века: научное измерение

«Университет XXI века: научное измерение» – 2025 182 С. В. Голик Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В РАБОТАХ Н. М. КОРОБОВА Аннотация. В работе рассматриваются методы численного интегрирования периодиче- ских функций, основанные на применении регулярных решеток. Особое внимание уделено методу оптимальных коэффициентов Н. М. Коробова. Рассмотрены условия, при которых сетки, которые обладают свойствами равномерных распределений, обеспечивают минималь- ную погрешность при численном интегрировании. Ключевые слова: оптимальные коэффициенты, метод Коробова, параллелепипедальные сетки, численные методы. В контексте численного вычисления интегралов от многомерных периоди- ческих функций особое внимание привлекают методы, в основе которых лежат идеи теории чисел. Одним из выдающихся направлений в этой области является метод, предложенный Н. М. Коробовым, суть которого заключается в использо- вании решёток специального вида для повышения точности аппроксимации ин- тегральных выражений. Ключевым элементом данной методологии выступают так называемые оп- тимальные коэффициенты – наборы целых чисел, подбираемые таким образом, чтобы погрешность вычислений на сетке с заданным числом узлов была мини- мальной. Теоретическое обоснование существования таких коэффициентов содер- жится в ряде важных результатов, полученных Н. М. Коробовым. Доказано, что для любого простого модуля возможно найти соответствующий набор коэффи- циентов, позволяющий существенно уменьшить значение сумм экспоненциаль- ного типа, возникающих в оценках точности. Рассмотрим функции ( 1 , … , ) непрерывные в единичном – мерном кубе , определенном неравенствами 0 ≤ ≤ 1 ( = 1, 2, … , ) , с периодом единица по каждой из переменных 1 , … , . Через С( 1 , … , ) в работах Н.М. Коробова обозначаются коэффициенты Фурье этой функции: С( 1 , … , ) = � … 1 0 � ( 1 , … , ) −2 ( 1 1 +⋯+ ) 1 … . 1 0 Далее, для = 1, 2, … , величины определены равенствами = � 1, если = 0, | |, если ≠ 0. Говорят, что функция ( 1 , … , ) принадлежит классу , если выполня- ется оценка С ( 1 , … , ) = (( 1 … ) − ) , Где – действительное число, большее единицы, и константа в знаке не зависит от 1 , … , . В тех случаях, когда нужно указать величину этой