Университет XXI века: научное измерение

«Университет XXI века: научное измерение» – 2025 180 повторение группой студентов опыта Бюффона, который подбросил монету 4040 раз, и опыта Пирсона (монета брошена 12 000 и 24 000 раз). Полученные резуль- таты оказались близкими к классическим (частость выпадения герба оказалась соответственно равной 0,50683; 0,5014; 0,5009). Важным выводом студентов стало осознание того, что на практике при использовании теоремы Бернулли за оценку вероятности какого-либо качества респондента в выборке используется частота его встречаемости. Базой изучения ЗБЧ является осознанное усвоение студентами содержание понятий случайной величины, вероятности, частоты, частости, математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения; использование формул Бернулли, Пуассона, Муавра-Лапласа в схеме независимых испытаний Бернулли. Практически на данном этапе речь идет о том, чтобы в какой-либо прикладной задаче можно, например, вычислить вероятность события с исполь- зованием интегральной теоремы Муавра-Лапласа, что дает хорошую точность при сложных вычислениях, но можно эффективнее оценить эту вероятность че- рез использование неравенства Чебышева (ЗБЧ). Студенты имеют возможность убедиться в истинности данного утверждения посредством решения прикладных задач. В качестве примера приведем одну из них. “Известно, что 75 % из 1000 жителей некоторого региона доживают до 80 лет. Определить вероятность того, что доля жителей, которые доживут до 80 лет, будет отличаться от вероятности 0,75, по абсолютной величине, не больше, чем на 0,05 “. По интегральной теореме Муавра-Лапласа искомая вероятность равна 0,99974, а по неравенству Чебышева нижняя оценка вероятности этого события равна 0,925. Таким образом, практически достоверно тоже можно утверждать, что из 1000 жителей данного региона до 80 лет доживут от 700 до 800 человек. В обоих случаях для получения результата используются математическое ожи- дание и дисперсия случайной величины. Однако, существует иной способ решения данной задачи с использованием неравенства Маркова, которое применяет для оценки вероятности только мате- матическое ожидание. Это ослабление условий вычислений приводит к получе- нию более грубой оценки значений вероятности в общем случае, но на опреде- ленном классе задач дает удовлетворительный результат меньшими затратами. В ряде прикладных задач его результаты вполне удовлетворяют пользователя. Для формирования исследовательских навыков будущих педагогов уместно научить их сравнивать результаты, получаемые при помощи неравенства Чебы- шева и неравенства Маркова. Рассмотрим пример. “Известно, что за сутки на ферме в среднем потребля- ется 1500 л воды (± 300 л). Требуется оценить вероятность того, что в какие-либо сутки потребуется не больше 3000 л“. Неравенство Маркова, использующее только математическое ожидание, дает вероятность не меньше 0,5. В то же время неравенство Чебышева, которое использует ещё и среднее квадратическое отклонение, равное 300, оценивает нижнюю границу вероятности, как 0,99. Таким образом получается практически достоверное событие. Чего нельзя было утверждать при помощи неравенства Маркова.