Исследовательский потенациал молодых ученых: взгляд в будущее - 2025

129 А. С. Подолян Научный руководитель – доктор физико-математических наук, профессор Н. М. Добровольский Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Аннотация. В данной работе рассматриваются теоретико-числовые методы ре- шения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Полученные результаты свидетельствуют о том, что для вычисления кратных интегралов оптимально исполь- зовать квадратурные формулы, построенные на алгебраических сетках. Ключевые слова: ряд Неймана, теоретико-числовые методы, уравнения Фред- гольма, алгебраические сетки. Одним из ключевых факторов развития в решении самых разных исследо- вательских задач служит активное внедрение в практику прикладных разделов современной математики. К, ним в первую очередь, относятся приближенные, численные и машинные методы решения интегральных уравнений. Применение этих методов открывает возможности создавать эффективные математические модели для широкого круга прикладных задач. «Интегральным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком ин- теграла» [1, с. 456]. Интегральные уравнения и связанные с ними подходы находят масштабное применение в самых разных сферах: в физике, механике, теории управления, а также во множестве прикладных задач. Одно из преимуществ интегральных урав- нений состоит в том, что они позволяют уменьшить размерность отдельных ис- следовательских задач и более компактно (по сравнению с дифференциальными уравнениями) формулировать краевые задачи, обеспечивая при этом подходы, га- рантирующие надежность вычислительных результатов. К примеру, такие урав- нения применяются при решении граничных задач в электростатике, при модели- ровании процессов рассеяния волн в акустике и электромагнетизме, а также во множестве обратных задач, связанных с обработкой сигналов и изображений. В работе [2] рассмотрен пример применения уравнений Фредгольма при ре- шении краевых задач электростатики. В частности, задача по определению неиз- вестных коэффициентов в разложении потенциала заключается в решении си- стемы связанных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Это демонстрирует, что уравнения Фредгольма находят практическое применение не только в математике, но и в конкретных расчетах электростатических полей. Для начала определим, что такое уравнения Фредгольма и какие разновид- ности они имеют. Шведский математик и профессор Стокгольмского универси-