Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №4 2007

ТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА Н. С. Казарян О СВЕДЕНИИ УРАВНЕНИЙ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ EAG- ДЕФОРМАЦИЙ КОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЕ КОШИ - РИМАНА Известно, что на поверхностях второго порядка положительной кривизны в трехмерном пространстве Е3, и только на них, уравнения бесконечно малых изги­ баний приводится к системе Коши - Римана, и потому каждую аналитическую функцию можно интерпретировать как координаты касательной, составляющей по­ ля смещений в подходящем базисе на поверхности. В настоящей работе показыва­ ется, что сходный результат имеет место в отношении бесконечно малых эквиаре- альных деформаций, сохраняющих поточечно сферический образ поверхности. 1. Постановка задачи. Пусть односвязная поверхность F2 с краем класса С2'1, 0 < / < 1 с гауссовой кривизной К > к()> 0, кС) = const, в трехмерном евклидовом про­ странстве Ег подвергнута бесконечно малой деформации, т. е. преобразована в поверх­ ность F 2, е е (-во, ео), е0>0 класса С2’1, 0 < / < 1. Всякая величина А, заданная на поверх­ ности F2, преобразуется в величину Ас, рассматриваемую на поверхности F 2; при этом At = А + едА + е 282А +... При бесконечно малой деформации поверхности считаем, что At=А + е5 А, где величина б А называется вариацией величины А при бесконечно малой деформации поверхности. Говорят [1], что поверхность F2 допускает бесконечно малую эквиареальную деформа- •у цию (ЕА -деформацию), если существует бесконечно малая деформация {/у }, £е(-£о, во), в0> 0 поверхности F1, переводящая любые равные по площади куски поверхности F2 в равные по площади куски поверхности { F2 }. Аналитически это означает, что 5S(F2)= c ,S(F2), (1) где S(F2) - площадь куска поверхности F2, С\ = const. Постоянная С\ в этом соотношении выступает в качестве параметра и при С\ = О эквиареальная деформация является ареальной деформацией. Рассмотрим эквиареальную деформацию поверхности F2, сохраняющую поточечно ее гауссов (сферический) образ поверхности. Такую деформацию называют G-деформа­ цией поверхности F2. G-деформация характеризуется аналитическим условием: пе- п , где пЕ, п - единичные вектора нормалей поверхностей F2, F2 в соответствующих точках. Бесконечно малую -деформацию поверхности F1 будем называть бесконечно ма­ лой EAG-деформацией, если она является G-деформацией, т. е. бесконечно малой эквиа- реалъной гауссовой деформацией. 2. Вывод уравнений EAG - бесконечно малых деформаций. Рассмотрим в евклидо­ вом пространстве Еъ поверхность F2, F1е С2’1, 0 < / < 1 положительной гауссовой кривизны К> к0> 0, &о= const с краем dF2е С1’1. Будем считать, что поверхность F2 задана уравнением r = r(u, v), (u,v) е D , 5