УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

„Выпуклые" частные суммы представим формулами: JA n(m) SMN= £ £ ь™ • r T“ nr-1 •I-T,— .-1e m =*=0 n «0 N «шах n(m) 0< ra<M N m(ti) - £ £ b(£ . r T_nr_1 • n - 0 in -0 Л1— max m п., 0<n<M где tn(ti) и n(m) функции целочисленного аргумента, не нарушающие „вып\клости" S ian . Назовем член т_Т1~шг‘_1 • г^~'и~х „внутренним" членом суммы 5Млг, если в нее входят также члены bm+iX х—Ti—(m+ 1)гж—1 _ г—Y—nr—1 и £<"+') _ 7 1 —mr i-1 _ ( - ( n + l ) r - l все остальные члены суммы Smn назовем „граничными" членами, а сумму всех „граничных" членов—„границей" StAN- Обозначив „границу" суммы 5 mn через Фмм. дадим еле- дующее определение двойного асимптотического разло­ жения. Определение 1 Функция f(tyz) имеет двойное асимптотическое разложе- °° оо ние в некоторой области плоскости t xт : £ £ ^wy п - 0 m - 0 m у , £ г—nr i ^ если для любого N> 0 выполняется соотношение: (I) Jim N М м X) - £ £ 6(“> X Т1 ШГ1 - t 1 nr n-0m-0 1 Фш = О т-*оо при одновременном стремлении t и т к оо вдоль некоторой кривой С, то есть остаток является величиной высшего порядка малости, чем „граница" частной суммы .5млг- Кривую С назовем асимптотическим путем функции /(*, т), а бесконечную область плоскости t ,т, каждая кривая которой, уходящая в оо, является асимптотическим путем функции /(/, 1 ), назовем областью двойного асимптотическо­ го разложения функции. 7* 99